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通信入门系列——微积分定理及证明_微积分基本定理

微积分基本定理

本节目录

一、微积分第一基本定理
二、微积分第二基本定理
三、微分与积分的互逆运算
四、罗尔定理
五、拉格朗日中值定理
六、积分中值定理
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本节内容
一、微积分第一基本定理
第一基本定理:设f(x)为实函数,其在闭区间[a,b]上连续,如果存在以下关系式:
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则F(x)可导,并且F’(x)=f(x)。
如何证明微积分的第一基本定理?
其实本质上也就是要证明F(x)可导,从导数的基本概念入手,来证明:
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根据积分中值定理,存在一个ξ∈[x,x+∆x],满足以下公式:
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二、微积分第二基本定理
第二基本定理(又称为牛顿-莱布尼茨公式):若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且存在原函数F’(x)=f(x),则f(x)在闭区间[a,b]上可积,且满足以下公式:
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如何证明微积分的第二基本定理?
将[a,b]上的一个分割a=x0<x1<……<xn-=b,同时满足以下关系式:
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拉格朗日中值定理可得,在(x(i-1),xi)上有一点ξi,满足:
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三、微分与积分的互逆运算
微积分的基本定理,其实描述的就是微分和积分是互逆的运算,使微分和积分形成一个有机的整体。第一定理描述的是原函数F(x)的导数是f(x);第二定理描述的是f(x)的积分是F(x)。
函数f(x)是[a,b]上的连续函数,F(x)是[a,x]上曲线包围的面积。
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从微分角度来分析,将自变量x变化到x+∆x,那么曲线面积的变化大约为∆F(x)≈f(x)∆x。也就是说,当∆x→0,也就变成了dF(x)=f(x)dx,dF(x)/dx=f(x)。第一定理中F(x)的导数是f(x)。
从积分角度来分析,把[a,x]上无数的[x,x+∆x]的面积累加起来,也就是曲线下的面积,两边积分可以得到以下公式:
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四、罗尔定理
罗尔定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导,那么存在一点ξ∈(a,b),满足下述公式:f’(ξ)=0。
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如何证明罗尔定理?
对于最大值和最小值都在端点的,即f(a)=f(b),也就是说f(x)为常函数,那么任意一点ξ∈(a,b),均满足下述公式:f’(ξ)=0。
对于f(x)在ξ∈(a,b)内部取得最大值,即f(x)max=f(ξ)。从左极限来考虑,若x∈(a,ξ),f(x)-f(ξ)<0,当x→ξ-时候,从左边逼近ξ,可以得到:
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从右极限来考虑,若x∈(ξ,b),f(x)-f(ξ)>0,当x→ξ+时候,从右边逼近ξ,可以得到:
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综上可得f’(ξ)=0。
当然对于最小值,也可以满足f’(ξ)=0。
五、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导,那么存在一点ξ∈(a,b),满足下述公式:
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以平均速度的概念来理解,如果自变量x表示时间,f(x)表示距离函数,那么(f(b)-f(a))/(b-a)为平均速度,f’(x)表示速度函数,通俗点讲,速度可以任意变化,但是总会存在一点的速度等于平均速度。
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六、积分中值定理
积分中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ,满足以下公式:
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如何证明积分中值定理?
假设f(x)在[a,b]上有定义,且如图所示,那么一定存在一个最小值m和一个最大值M。
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如果m=M,也就是最小值等于最大值,那么f(x)一定是一个常数,ξ取[a,b]中的任意一点都满足积分中值定理。如果m<M,满足下述公式:
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上式中的值在f(x)的最小值和最大值之间,f(x)在闭区间[a,b]上连续,也就是f(x)从最小值变化到最大值的时候,一定会存在ξ∈[a,b],满足下述公式:
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