如果R是唯一析因整环，那么R[x]也是唯一析因整环

【定义1】商域

如果$R$是整环，那么则$R$上的商域$K_R$定义为

$$K_R=\left\{\frac{a}{b}|a,b\in R,b\ne 0\right\}$$

其中

$$\frac{a}{b}=\frac{a^{{}^{\prime }}}{b^{{}^{\prime }}}\in K_R\iff a{b}^{{}^{\prime }}=a^{{}^{\prime }}b\in R$$

域$K_R$中的$+、\times$按照下面方式进行

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\frac{a}{b}\times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$$

负元、逆元定义如下

$$-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}{\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1}=\frac{b}{a}$$

【定义2】环同态

$R$是整环，可按照下面方式，建立从$R$到商域$K_R$的环同态

$$\phi :R\to K_R,\phi (r)=\frac{r}{1},\forall r\in R$$

可以看出$\phi$是一个从$R$到商域$K_R$的单射函数，即对于商域$K_R$的元素$\frac{a}{b}$约分后$\frac{a^{{}^{\prime }}}{b^{{}^{\prime }}}$，如果$b^{{}^{\prime }}=1$，则对应一个$R$的元素$a^{{}^{\prime }}$。

【定义3】本原多项式

如果$R$是唯一析因整环，对于$R[x]$的多项式函数

$$F=\sum _{i=0}^m{a}_i{x}^i{r}_i\in R$$

如果$\gcd \left(a_m\dots a_1,a_0\right)\sim 1$，那么称$F$为本原多项式。

一般情况下：

$$F=\gcd \left(a_m\dots a_1,a_0\right)\times pp(F,x)=cont(F,x)\times pp(F,x)$$

其中$cont(F,x)=\gcd \left(a_m\dots a_1,a_0\right)$、$pp(F,x)$为$F$的本原部分、$cont(F,x)$为$F$的容忍度。

【引理1】

如果$R$是唯一析因整环，那么两个本原多项式的积仍是本原多项式。

【引理2】

如果$R$是唯一析因整环，那么两个本原多项式$F、G$满足

$$F\times f=G\times gf\in R、g\in R$$

那么有

$$f\sim gF\sim G$$

这是因为最小公倍数$lcm(f,g)|F\times f$、$lcm(f,g)|G\times g$，而$F、G$为本原多项式，所以$f\sim lcm(f,g)\sim g$，从而$F\sim G$

【定理】如果$R$是唯一析因整环，那么$R[x]$也是唯一析因整环

【证明】

设$R[x]$上的多项式函数为

$$F=\sum _{i=0}^m{r}_i{x}^i{r}_i\in R$$

根据【定义1】中商域$K_R$的定义，$F$对应$K_R[x]$上的多项式函数

$$F_K=\sum _{i=0}^m{k}_i{x}^i{k}_i=\frac{r_i}{1}\in R$$

注意：由于$K_R$为域，所以$K_R[x]$是欧几里得整环，从而$K_R[x]$是唯一析因整环。

下面的1、2中对$F_K$的真因子分解结果会把真因子的相伴元视为等价因子。

1. 若$F$为本原多项式，且$F_K$的真因子分解结果必然对应一个$F$的真因子分解结果

设$F_K$的真因子分解结果如下：

$$F_K=\prod _{i=1}^n{F}_K^{(i)}{F}_K^{(i)}\in K_R[x]$$

对于所有$F_K^{(i)}$，总有一个$F^{(i)}$与之对应：

$${\phi }^{-1}\left(F_K^{(i)}\times \frac{r^{(i)}}{1}\right)=F^{(i)}{r}^{(i)}\in R$$

那么有

$$F\prod _{i=1}^n{r}^{(i)}=\prod _{i=1}^n{F}^{(i)}$$

而每个$R[x]$的多项式函数$F^{(i)}$都可写成本原部分和容忍度的乘积，所以

$$F\times \prod _{i=1}^n{r}^{(i)}=\prod _{i=1}^{n}cont\left(F^{(i)},x\right)\times \prod _{i=1}^{n}pp\left(F^{(i)},x\right)$$

根据 【引理1】 知

$$\prod _{i=1}^{n}pp\left(F^{(i)},x\right)$$

为本原多项式。

再根据 【引理2】

$$\prod _{i=1}^n{r}^{(i)}\sim \prod _{i=1}^{n}cont\left(F^{(i)},x\right)$$

$$F\sim \prod _{i=1}^{n}pp\left(F^{(i)},x\right)$$

所以$F_K$的真因子分解结果必然对应一个$F$因子分解结果。

2. 若$F$是本原多项式，则多项式$F$的真因子分解结果唯一

通过映射关系$\phi$，$F$的真因子分解过程可在$F_K$上模拟。这也意味，当$F$的真因子分解过程结束时，$F_K$的也无真因子可继续分解（根据前面的结论，$F_K$的真因子分解结果必然对应一个$F$的真因子分解结果，反证立得）。

由于$F_K$是唯一析因整环$K_R[x]$上的多项式，所以$F_K$唯一分解，从而$F$也是唯一分解（因为$F$的不同真因子分解，也必然对应$F_K$的不同真因子分解，矛盾）。

3. 一般多项式$F$的真因子分解结果唯一

对于一般的多项式$F$的任意分解

$$F=\prod _{i=1}^k{f}_i\times \prod _{i=1}^n{F}_i=cont(F,x)\times pp(F,x)$$

因为$F_i$都是本原多项式（否则可以析出真因子$\in R$），根据 【引理1】【引理2】

$$\prod _{i=1}^k{f}_i\sim cont(F,x)$$

$$\prod _{i=1}^n{F}_i\sim pp(F,x)$$

由于$cont(F,x)\in R$，所以真因子分解结果唯一。同时根据2，可知$F$的本原部分$pp(F,x)$的真因子分解结果${\prod }_{i=0}^n{F}_i$唯一，所以一般多项式$F$的真因子分解结果唯一。