平面方程的推导过程_平面方程推导

平面方程有四种表达方式分别是：截距式，点法式，一般式，法线式。

1.点法式

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

假设n=(A,B,C)为平面的法向量，M=(x,y,z)为平面上任意一点，M'=(x0,y0,z0)，则有n·MM'=0,则有A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0

2.一般式

Ax+By+Cz+D=0

由点法式推出A*x + B*y + C*z - A*x0 - B*y0 - C*z0 = 0 令D =  - A*x0 - B*y0 - C*z0即推导出一般式

3.截距式

设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a + y/b + c/z = 1

平面与三个轴的坐标分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的解距。

推导过程很简单平面与x轴的交点就是令y=0,z=0,所以a= -D/A，以此类推出b=-D/B,c=-D/C。

4.法线式

xcosα + ycosβ + zcosγ = d 其中cosα、cosβ、cosγ是平面法向量的方向余玹，p为原点到平面的距离。其中cosα²＋cosβ²＋cosγ²＝１

假设原点到平面的法线为on，平面上任意一点p(x,y,z)，平面上一点p₀,(x₀,y₀,z₀)，则有on·pp₀ = 0。

pp₀ = op - op₀，则on·op - on·op₀ = 0

假设on₀的的单位法向量为（cosα，cosβ，cosγ）且 cosα²＋cosβ²＋cosγ²＝１则on·op - on·op₀ = on₀·op - on₀·op₀

其中on₀·op₀ = d 并且 on₀·op = xcosα + ycosβ + zcosγ 所以xcosα + ycosβ + zcosγ = d