单调队列 + 例题：洛谷P2032 扫描 题解_洛谷日报 单调队列

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一、什么是 单调队列

        单调队列 是一种具有单调性的结构，它可以用来求最大值最小值等操作，它是一种特殊的双端队列，它保持队列中元素的单调性。单调队列可以在O(1)的时间复杂度内求得队列中的最大值或最小值。在单调队列中，队列中的元素按照一定的顺序排列，并且队列中的元素满足某种单调性。常见的单调队列有单调递增队列和单调递减队列。在单调递增队列中，队列中的元素按照递增的顺序排列；在单调递减队列中，队列中的元素按照递减的顺序排列。单调队列常用于求解滑动窗口问题，可以高效地获取滑动窗口内的最大值或最小值。

二、单调队列的基本思想

        单调队列 的基本思想是：维护一个单调递增（或递减）的队列，队列中的元素按照从大到小（或从小到大）的顺序排列。每当窗口滑动时，如果新加入的元素大于队尾元素，则将队尾元素出队，直到队列为空或新加入的元素小于等于队尾元素为止。这样，队列的队首元素就是当前窗口的最大值。 

        这段话有点长，可以搭配后面的内容理解。

三、示意图 

以下是一个示意图，展示了单调队列的基本思想和操作过程：

初始状态：
队列：(5)

操作1：
入队元素3
此时3比5小，直接入队
队列：(5，3)

操作2：
入队元素2
此时2比3小，直接入队
队列：(5，3，2)

操作3：
入队元素4
此时进行判断，发现4比2大，2出队
再次进行判断，发现4比3大，3出队
再次进行判断，发现4比5小，4入队
队列：(5，4)

操作4：
入队元素2
队列：(5，4，2 )

操作5：
这里我们尝试出队一个元素
队列：(4，2)
我们会发现最大值依然是最左边的数
当前最大元素：4

        以上示意图展示了一个单调递减队列的操作过程，队列中始终保持着元素的递减顺序。在每次入队时，如果新元素比队尾元素大，则将队尾元素出队，直到队列为空或新元素比队尾元素小为止。这样就实现了维护一个单调递减序列的队列。

四、代码实现

下面给出单调队列在滑动窗口问题中的C++实现示例：

#include <iostream>
#include <deque>
#include <vector>
 
using namespace std;
 
void maxSlidingWindow(int nums[], int k) {
	deque<int> dq;
	for (int i = 0; i < 8; i++) {
		// 如果队列不为空且队尾元素小于当前元素，将队尾元素出队
		while (!dq.empty() && nums[i] >= nums[dq.back()]) {
			dq.pop_back();
		}
		
		// 将当前元素入队
		dq.push_back(i);
		
		// 判断队首元素是否在滑动窗口内，如果不在则出队
		while (dq.front() <= i - k) {
			dq.pop_front();
		}
		
		// 判断滑动窗口是否形成，如果形成则将队首元素（最大值）加入结果列表
		if (i >= k - 1) {
			cout << nums[dq.front()] << " ";
		}
	}
}
 
int main() {
	int nums [] = {1, 3, -1, -3, 5, 3, 6, 7};
	int k = 3;
	
	maxSlidingWindow(nums, k);
	
	return 0;
}

输出:
3 3 5 5 6 7

以上是一个完整的C++程序，实现了使用单调队列解决滑动窗口中的最大值问题。
示例中的输入数组 `nums` 为 {1, 3, -1, -3, 5, 3, 6, 7}，窗口大小 `k` 为 3，程序的输出为 `3 3 5 5 6 7`，即滑动窗口中的最大值。

        在示例代码中，使用`deque`作为单调队列，通过维护队列的单调递减性质来求解最大值。程序首先遍历输入数组，将元素通过一定的逻辑加入到队列中，并保持队列的单调性。然后，判断队首元素是否在滑动窗口内，如果不在，则从队首弹出元素。最后，判断滑动窗口是否形成，如果形成则将队首元素（最大值）加入结果列表。

五、例题讲解

        洛谷P2032 扫描

   （一）题面

        1.题目描述

有一个 1×n 的矩阵，有 n 个整数。

现在给你一个可以盖住连续 k 个数的木板。

一开始木板盖住了矩阵的第 1∼k 个数，每次将木板向右移动一个单位，直到右端与第 n 个数重合。

每次移动前输出被覆盖住的数字中最大的数是多少。

        2.输入格式

第一行两个整数 n,k，表示共有 n 个数，木板可以盖住 k 个数。

第二行 n 个整数，表示矩阵中的元素。

        3.输入格式 

共 n−k+1 行，每行一个整数。

第 i 行表示第 i∼i+k−1 个数中最大值是多少。

   （二）题目解析 

         这道题我们可以创建一个单调队列，具体操作看一下代码和注释

   （三）具体代码

         老规矩，上代码，走你q(≧▽≦q)

//今天你数组调大小了吗
 
#include <bits/stdc++.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <vector>
#include <set>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
#include <cstdlib>
 
using namespace std;
 
struct point{//建立结构体 
	int x;   //存储元素
	int t;   //元素的下标
};
int n,k;
list<point> l;  //这里我们用链表当单调队列
 
int main(){
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int a;
		cin>>a;  //临时存放元素
		while(!l.empty()&&l.back().x<=a){ //清除比它小的
			l.pop_back();
		}
		l.push_back({a,i}); //进入单调队列，此时在它左边没有比它小的 
							//保证了队列的单调性
		if(l.front().t<i-k+1){
			l.pop_front();  //将木板盖不住的元素清除
		}
		if(i>=k){   //此时可以开始输出了
			cout<<l.front().x<<endl;
		}
	}
	
	return 0;
}