主成分分析（PCA）方法步骤以及代码详解_pca步骤

主成分分析（PCA）方法步骤以及代码详解

前言

上一节我们了解到在构建神经网络模型，除了掌握如何搭建神经网络架构，了解参数具体含义，规避风险等方法。第一步是要对采用数据集的详细了解，无需接触任何神经网络代码，而是从彻底检查数据开始。这一步是非常关键的一步，往往我们在数据处理的某一个步骤会一定程度上的影响实验结果。本节将讲述常见的数据降维方法PCA，减少数据集的变量数量，同时保留尽可能多的信息。

1. 什么是主成分分析？

​ PCA（Principal Component Analysis） 是一种常见的数据分析方式，常用于高维数据的降维，可用于提取数据的主要特征分量。PCA通常用于降低大型数据集的维数，方法是数据集中的指标数量变少，并且保留原数据集中指标的大部分信息。总而言之：减少数据指标数量，保留尽可能多的信息。

1.1 PCA适用范围

• 在已标注与未标注的数据上都有降维技术
• 主要关注未标注数据上的降维技术，将技术同样也可以应用于已标注的数据。

1.2 优缺点

​ PCA优点在于数据降维，便于提取数据的主要特征，使得数据更容易使用，减少计算开销，去除噪音等等。缺点在于不一定需要，有可能损失有用信息，只针对训练集保留主要信息，可能造成过拟合。适用于结构化数据.PCA不仅能将数据压缩，也使得降维之后的数据特征相互独立。

2. PCA的方法步骤

​ PCA作为一个传统的机器学习算法，可以通过基础的线代知识推导（协方差矩阵计算，计算特征向量，特征值，正交…）。主要涉及的数学方法不在本节过多描述，有兴趣的读者可以参考花书中的线性代数部分，做推导。PCA的步骤主要分为五步；

2.1 标准化连续初始变量的范围（非结构化转成结构化）

​ 此步骤的目的是标准化结构化指标的范围，因为PCA对于初始变量的方差非常敏感，如果初始变量的范围之间存在较大差异，则会造成很大变差，使用标准化可以将数据转换为可比较的尺度。最常用的方法主要有一下两种

• 线性函数归一化。将原始数据进行线性变换，使结果映射到[0,1]的范围，实现对原始数据的等比缩放。归一化公式如下：

$$X_{\text{norm }}=\frac{X-X_{\min }}{X_{\max }-X_{\min }}$$

• 零均值归一化。它会将原始数据映射到均值为0，标准差为1的分布上。具体来说，假设原始特征的均值μ，标准差为σ，那么归一化公式定义为：
  $$z=\frac{x-\mu }{\sigma }.$$

​ 此方法仅限于结构化数据，对于类别型特征主要是指男，女，血型等只在有限选项内取值的特征。类别型特征原始输入通常是字符串形式，可以使用序号编码，独热编码，二进制编码等进行预处理。

• 序号编码：序号编码通常用于处理类别间具有大小关系的数据。例如成绩，可以分为 低、中、高三档，并且存在“高>中>低”的排序关系。序号编码会按照大小关系对 类别型特征赋予一个数值ID，例如高表示为3、中表示为2、低表示为1，转换后依 然保留了大小关系。

• 独热编码：独热编码通常用于处理类别间不具有大小关系的特征。例如血型，一共有4个 取值（A型血、B型血、AB型血、O型血），独热编码会把血型变成一个4维稀疏 向量，A型血表示为（1, 0, 0, 0），B型血表示为（0, 1, 0, 0），AB型表示为（0, 0, 1, 0），O型血表示为（0, 0, 0, 1）。（对于类别值较多的情况注意使用稀疏向量来节省空间，以及配合特征选择来降低维度）

• 二进制编码：二进制编码主要分为两步，先用序号编码给每个类别赋予一个类别ID，然后 将类别ID对应的二进制编码作为结果。以A、B、AB、O血型为例，表1.1是二进制 编码的过程。A型血的ID为1，二进制表示为001；B型血的ID为2，二进制表示为 010；以此类推可以得到AB型血和O型血的二进制表示。可以看出，二进制编码本 质上是利用二进制对ID进行哈希映射，最终得到0/1特征向量，且维数少于独热编 码，节省了存储空间。

• Categorical Embedder：通过神经网络编码分类变量，有兴趣的朋友可以参考这篇文章（这个以后可能会单独列出一章讲述，不能占篇幅过大…）

  对于文本类型的非结构化数据，主要使用的是词袋模型**（Bag of Words），TF-IDF，主题模型（Topic Model），词嵌入模型（Word Embedding），这个也不做过多叙述了简单叙述一下即可，对于专攻NLP**的朋友就是关公面前耍大刀了…

2.2 计算协方差矩阵以识别相关性

​ 此步骤的目的是观察数据标签彼此是否存在相关性，观察指标间是否包含冗余信息。使用协方差矩阵是一个p * p对称矩阵（其中p是维数），它具有与所有可能的初始变量对相关联的协方差作为条目。假设三个变量x，y，z三维数据集，协方差矩阵是3 * 3矩阵如下图所示：
[ Cov ⁡ ( x , x ) Cov ⁡ ( x , y ) Cov ⁡ ( x , z ) Cov ⁡ ( y , x ) Cov ⁡ ( y , y ) Cov ⁡ ( y , z ) Cov ⁡ ( z , x ) Cov ⁡ ( z , y ) Cov ⁡ ( z , z ) ] \left[

$$\begin{array}{lll} \operatorname{Cov}(x, x) & \operatorname{Cov}(x, y) & \operatorname{Cov}(x, z) \\ \operatorname{Cov}(y, x) & \operatorname{Cov}(y, y) & \operatorname{Cov}(y, z) \\ \operatorname{Cov}(z, x) & \operatorname{Cov}(z, y) & \operatorname{Cov}(z, z) \end{array}$$ \right] ⎣⎡​Cov(x,x)Cov(y,x)Cov(z,x)​Cov(x,y)Cov(y,y)Cov(z,y)​Cov(x,z)Cov(y,z)Cov(z,z)​⎦⎤​