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张量学习（6）：张量代数_双点积
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1.相等
若两个张量
T
=
T
i
j
e
i
e
j
T = T_{ij}e_ie_j
T=Tijeiej和
S
=
S
i
j
e
i
e
j
S = S_{ij}e_ie_j
S=Sijeiej相等,即：
T
=
S
T = S
T=S
则对应分量相等，即：
若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。
2.和、差
两个同阶张量
A
=
A
i
j
e
i
e
j
A = A_{ij}e_ie_j
A=Aijeiej与
B
=
B
i
j
e
i
e
j
B = B_{ij}e_ie_j
B=Bijeiej之和（或差）是另一个同阶张量
T
=
T
i
j
e
i
e
j
T = T_{ij}e_ie_j
T=Tijeiej
则 
其分量的关系为：
3.数积
张量
A
A
A和一个数
λ
\lambda
λ（或标量函数）相乘得另一同维同阶张量
T
T
T
其分量的关系为：
4.并积
两个同维不同阶（或同阶）张量
A
A
A和
B
B
B的并积
T
T
T是一个阶数等于
A
、
B
A、B
A、B阶数之和的高阶张量。
设：
则：
其分量关系为：
注意：
A
B
≠
B
A
AB \ne BA
AB=BA
5.缩并
若对基张量中的任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。
其分量关系为：
若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果也不同。
列如：
推出：
推出：
即：
6.内积
内积
=
=
=并积
+
+
+缩并
例如:
A
=
A
i
j
k
e
i
e
j
e
k
A = A_{ijk}e_ie_je_k
A=Aijkeiejek 和
B
=
B
l
m
e
l
e
m
B = B_{lm}e_le_m
B=Blmelem的一种内积是：
其分量关系为：
7.点积
前张量
A
A
A的最后基矢量与后张量
B
B
B的第一基矢量缩并的结果，记为
A
⋅
B
A·B
A⋅B，是最常见的一种内积。
两个二阶张量的点积相当于矩阵乘积
8.双点积
对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为双点积，共有两种：
并双点积：
串双点积：
9.并矢
把
K
K
K个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个
K
K
K阶张量。
+6
矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的顺序不得任意调换。
10.张量乘法运算和结果的阶数
Σ
\Sigma
Σ表示为阶数的和
个人思考：
这九种运算属于张量中最基本的运算，需要熟练的掌握，个人感觉最主要的还是运算过后阶数的改变要熟练。
