线性代数——LU(LR)分解_lu分解

定义

定义：给定矩阵A，将A表示成下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，称为LU分解。再进一步，希望L的对角元素都是1，这样利于后面的计算。

此外，形如A=LDU的分解称为LDU分解，L是下三角矩阵，D是对角阵，U是上三角矩阵，其中L和U的对角元素都是1。

对于正方矩阵来说，上面的分解结果L和U的大小显而易见，都和原矩阵A的size相同。那么对于非正方矩阵而言呢？

长矩阵B经过LU分解的结果希望是如下的形式：

宽矩阵C经过LU分解的结果希望是如下的形式：

为什么要LU分解

一旦完成了LU分解，利用L和U的性质，再去求行列式的值或者解线性方程组，计算量就大大减少了。

LU分解作为基本工具在各种数值计算问题中被广泛应用。例如求解线性方程组Ax=b时，只需要做一次A=LU的分解，后面面对不同的b就可以反复使用L和U了。

为什么能做到LU分解

可以先设定最终LU分解的两个矩阵中的所有未知数，之后通过原始矩阵的每个元素反解出L和U中的每个元素，这里可以以任意例子做实验。但是需要注意，如果原始矩阵的对角元素有0，那么情况就另当别论，需要对LU的样子稍作改变再进行分解。

利用LU分解求行列式值

对于方阵A，若已经有形如A=LU的LU分解，则立即可以得到行列式值detA。因为
$$detA=det(LU)=(detL)(detU)$$
所以只需要求出det L和det U即可。而下三角矩阵和上三角矩阵的行列式就是对角元素的乘积。这里det L恰好等于1，于是
$$detA=U的对角元素的乘积$$

利用LU分解求解线性方程组

这里以有解的情况为例，考虑n阶可逆方阵A和n维向量y，需要求解满足Ax=y的向量x。

将A进行LU分解，解方程的问题就被分为了两个步骤，LUx=y。第一步就是求出满足Lz=y的z；
第二步就是求出满足Ux=z的x。
用数学表达式表述就是
$$A\mathbf{x}=LU\mathbf{x}=L(U\mathbf{x})=L\mathbf{z}=\mathbf{y}$$

这样有什么好处？其实，由于L和U都是具有特殊形式的矩阵，所以求解过程要简单许多。对于第一步：
( 1  车  1  孙   郑  1  李   王   卫  1 ) ( z 1 z 2 z 3 z 4 ) = (  子   丑   寅   卯  ) \left(

$$\begin{array}{cccc} 1 & & & \\ \text { 车 } & 1 & & \\ \text { 孙 } & \text { 郑 } & 1 & \\ \text { 李 } & \text { 王 } & \text{ 卫 } & 1 \end{array}$$ \right)\left( $$\begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \\ z_{4} \end{array}$$ \right)=\left( $$\begin{array}{l} \text { 子 } \\ \text { 丑 } \\ \text { 寅 } \\ \text { 卯 } \end{array}$$ \right) ⎝⎜⎜⎛​1 车  孙  李 ​1 郑  王 ​1 卫 ​