蓝桥杯2020年第十三届省赛真题-合并检查

一、题目

合并检测

新冠疫情由新冠病毒引起，最近在 A 国蔓延，为了尽快控制疫情，A 国准备给大量民众进病毒核酸检测。然而，用于检测的试剂盒紧缺。为了解决这一困难，科学家想了一个办法：

合并检测。即将从多个人（k 个）采集的标本放到同一个试剂盒中进行检测。如果结果为阴性，则说明这 k 个人都是阴性，用一个试剂盒完成了 k 个人的检测。如果结果为阳性，则说明至少有一个人为阳性，需要将这 k 个人的样本全部重新独立检测（从理论上看，如果检测前 k − 1 个人都是阴性可以推断出第 k 个人是阳性，但是在实际操作中不会利用此推断，而是将 k 个人独立检测），加上最开始的合并检测，一共使用了 k + 1 个试剂盒完成了 k 个人的检测。

A 国估计被测的民众的感染率大概是 1%，呈均匀分布。请问 k 取多少能最节省试剂盒？

这是一道结果填空题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

二、分析

采用的是数学的方法:

设A国有n个人，因为民众感染的概率为1%，所以被感染的人有n/100人，又k个人分到一组，则需要的试剂数n/k,又因为每多感染一个人试剂的数量多k个，被感染了则需要的试剂数为(n/100)*k,所以我们需要的总的试剂的数量为 n/k+(n/100)*k,又因为人数是定的，我们把n看作是1，

则有总试剂数为1/k+k/100，要使其达到最小，当且仅当1/k=k/100,(a+b>=2根号下ab,当且仅当a=b的时候成立)，解的k=10.