蓝桥杯大赛青少年创意编程C++高级组模拟题-题目的分数值_主办方希望:解决更多问题的参赛者的排名更高。 因此,对于任何解决了 k(1≤k≤n-1)

最近辅导蓝桥杯青少年组，遇到此题网上无题解，自己写了一份。

编程实现： 题目的分数值

程序命名： score.cpp

题目描述：

有n个问题，现在请你给这n个问题分配分值。

n个问题已经按从简单到困难排好序，第i个问题的分值是Ai，n个问题的分值满足如下关系：1<=A1<=A2<=…<=An<=n。不同的问题可以具有相同的分值。

主办方希望：解决更多问题的参赛者的排名更高。因此，对于任何解决了k（1 <=k<=n-1）个问题的参赛者，其分数总和一定要小于解决了任何k+1个问题的参赛者的分数总和。

你有几种分配分值的方法？将答案对素数m取余后输出。

输入：

整数n和m

其中2<=n<=5000，9x10⁸ <m<10⁹，m为素数。

输出：

分值分配的方案数对m取余后的数字

样例输入1：

2 998244353

样例输出1：

3

样例1说明：

2个题的分值分配有3种方案：（1，1），（1，2），（2，2）。

样例输入2：

3 998244353

样例输出2：

7

样例2说明：

3个题的分值分配有7种方案：（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（3，3，3）

思路

首先对题目分析。
要保证做K+1个题目得分比做K个高，则要求满足任意两个题目分值大于任意第三个题目，又A1和A2为分值最小的两个题目。则有：Ai>A1+A2。
A1和A2的分值可以通过枚举选取，从第三个题目开始，每个题目的分值须满足Ai>=Ai-1，且Ai<=min(n,A1+A2-1)。
然后递推，定义子问题。
后续的分值选取方案数与当前分值选取有关。
设dp[i][k]表示后续还剩i个未确定分值的题目，且当前题目可选方案为k种的总方案数。每个题目的分值方案数满足递推式：

递推边界为：dp[1][k] = k
观察递推式具有累加性质，可优化为：

对定义的dp值先做预处理，原问题等价于先取了前两个数，后续的A3按照约束有k1种取法，k1 = min（A1，n-A2+1），依次是A2 ~ k1，按加法原理，此时对答案贡献dp[n-2][k1]
由数论基本定理，对答案取模等价于对加法运算中各步骤结果取模的总和再取模。

编写代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 5005;
int dp[MAXN][MAXN];
int main()
{
	
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int k=1;k<=n;k++) dp[1][k] = k;
	for(int i=2;i<=n;i++)  // 后面还有几个数 
	{
		for(int k=1;k<=n;k++)  //当前阶段有多少种选择 
		{
			if(k==1) dp[i][k] = dp[i-1][k];
			else dp[i][k] = (dp[i][k-1] + dp[i-1][k]) % m; 
		}
	}
	int ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=i;j<=n;j++)
		{
			int k1= min(i,n-j+1);
			ans = (ans + dp[n-2][k1]) % m;
		}
	}
	if(n==2) 
		ans = 3;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}
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