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四元数和欧拉角都是用于表示旋转的工具,它们之间可以相互转换。以下是四元数和欧拉角之间的转换公式推导,并提供了C语言代码实现。
一、四元数和欧拉角的定义及基本性质
四元数的定义:四元数是一个具有形如 q = q 0 + i q 1 + j q 2 + k q 3 q=q_0+iq_1+jq_2+kq_3 q=q0+iq1+jq2+kq3的复数扩展形式的数,其中 i , j , k i,j,k i,j,k是虚数单位, q 0 , q 1 , q 2 , q 3 q_0,q_1,q_2,q_3 q0,q1,q2,q3是实数。
四元数可以表示为一个单位四元数和一个旋转角度的乘积形式: q = r ( c o s θ 2 + i s i n θ 2 n ) q=r(cos\frac{\theta}{2}+isin\frac{\theta}{2}\textbf{n}) q=r(cos2θ+isin2θn),其中 r r r是标量部分, n \textbf{n} n是旋转轴, θ \theta θ是旋转角度。
欧拉角的定义:欧拉角是用于描述物体在空间中的旋转的一种表示方法,它可以分为三个旋转,即绕 x x x轴旋转 ϕ \phi ϕ角,绕 y y y轴旋转 θ \theta θ角,绕 z z z轴旋转 ψ \psi ψ角。
欧拉角的转换顺序有三种,分别为 x y z xyz xyz, z y x zyx zyx和 y x z yxz yxz,其中 x y z xyz xyz表示先绕 x x x轴旋转,再绕 y y y轴旋转,最后绕 z z z轴旋转。
二、四元数和欧拉角之间的转换公式
四元数和欧拉角可以相互转换,它们之间的转换公式如下:
以 x y z xyz xyz为例,欧拉角绕 x x x轴旋转 ϕ \phi ϕ角,绕 y y y轴旋转 θ \theta θ角,绕 z z z轴旋转 ψ \psi ψ角,对应的四元数公式为:
q
=
[
c
o
s
ϕ
2
s
i
n
ϕ
2
0
0
]
[
c
o
s
θ
2
0
s
i
n
θ
2
0
]
[
c
o
s
ψ
2
0
0
s
i
n
ψ
2
]
q=
对应的代码实现如下:
void euler2quat(float phi, float theta, float psi, float quat[4]) {
float c1 = cos(phi / 2);
float c2 = cos(theta / 2);
float c3 = cos(psi / 2);
float s1 = sin(phi / 2);
float s2 = sin(theta / 2);
float s3 = sin(psi / 2);
quat[0] = c1*c2*c3 + s1*s2*s3;
quat[1] = s1*c2*c3 - c1*s2*s3;
quat[2] = c1*s2*c3 + s1*c2*s3;
quat[3] = c1*c2*s3 - s1*s2*c3;
}
以 x y z xyz xyz为例,先计算旋转矩阵 R R R,再对旋转矩阵 R R R进行分解,得到欧拉角 ϕ , θ , ψ \phi,\theta,\psi ϕ,θ,ψ。
旋转矩阵
R
R
R通过四元数
q
q
q计算,即
R
=
[
1
−
2
(
q
2
2
+
q
3
2
)
2
(
q
1
q
2
−
q
0
q
3
)
2
(
q
0
q
2
+
q
1
q
3
)
2
(
q
1
q
2
+
q
0
q
3
)
1
−
2
(
q
1
2
+
q
3
2
)
2
(
q
2
q
3
−
q
0
q
1
)
2
(
q
1
q
3
−
q
0
q
2
)
2
(
q
0
q
1
+
q
2
q
3
)
1
−
2
(
q
1
2
+
q
2
2
)
]
R=
计算旋转矩阵分解的代码实现如下:
void quat2euler(float quat[4], float* phi, float* theta, float* psi) { float R[3][3]; R[0][0] = 1 - 2 * (quat[2] * quat[2] + quat[3] * quat[3]); R[0][1] = 2 * (quat[1] * quat[2] - quat[0] * quat[3]); R[0][2] = 2 * (quat[0] * quat[2] + quat[1] * quat[3]); R[1][0] = 2 * (quat[1] * quat[2] + quat[0] * quat[3]); R[1][1] = 1 - 2 * (quat[1] * quat[1] + quat[3] * quat[3]); R[1][2] = 2 * (quat[2] * quat[3] - quat[0] * quat[1]); R[2][0] = 2 * (quat[1] * quat[3] - quat[0] * quat[2]); R[2][1] = 2 * (quat[0] * quat[1] + quat[2] * quat[3]); R[2][2] = 1 - 2 * (quat[1] * quat[1] + quat[2] * quat[2]); *phi = atan2(R[2][1], R[2][2]); *theta = asin(-R[2][0]); *psi = atan2(R[1][0], R[0][0]); }
三、总结
本文介绍了四元数和欧拉角之间的转换公式推导及C语言代码实现,在实际使用中可以根据需要进行选择。四元数具有很好的性质,可以避免万向锁等问题,因此在计算机图形学、机器人控制等领域中得到了广泛应用。欧拉角虽然表示方式较为简单,但在某些情况下容易出现奇点等问题,因此需要进行相应的处理。
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