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树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。
注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构
PS:树与非树
以上都是非树,树具有以下特点:
子树不相交
除了根节点外,每个结点有且仅有一个父节点
一颗N个结点的树有N-1条边
节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;
树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间的关系,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。
代码如下:
- typedef int DataType;
- struct Node
- {
- struct Node* firstChild1;//第一个孩子结点
- struct Node* NextBrother;//指向其下一个兄弟结点
- DataType data; // 结点中的数据域
- };
实现图如下:
一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出:
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:
满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。
完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。(前k-1层都是满的,最后一层不满,但是最后一层从左往右是连续的)
二叉树的逻辑结构是树形的,但是物理结构是是像数组那样连续存储的,所以,这里我们会发现二叉树的父节点和孩子节点之间会满足:
左孩子结点 = 父节点 * 2 + 1
右孩子结点 = 父节点 * 2 + 2
父节点 = ( 左孩子结点 - 1 ) / 2
为什么父节点等于左孩子结点减一除以二也满足右孩子呢?
这是因为在计算机中,整数除法是不会出现小数的,会把小数位舍弃
1. 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.
2. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是是2^h-1.
3. 对任何一棵二叉树,如果度为0其叶结点个数为n0,度为2的分支结点个数为n2,则有n0=n2+1
4. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h=log2^(n+1). (ps:log2^(n+1)是log以2为底,n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:
1. 某二叉树共有 399 个结点,其中有 199 个度为 2 的结点,则该二叉树中的叶子结点数为( )
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.下列数据结构中,不适合采用顺序存储结构的是( )
A 非完全二叉树
B 堆
C 队列
D 栈
3.在具有 2n个结点的完全二叉树中,叶子结点个数为( )
A n
B n+1
C n-1
D n/2
4.一棵完全二叉树的节点数位为531个,那么这棵树的高度为( )
A 11
B 10
C 8
D 12
5.一个具有767个节点的完全二叉树,其叶子节点个数为()
A 383
B 384
C 385
D 386
第一题 n0 = n2 + 1 = 200,选择A
第二题 非完全二叉树因为中间是有间隔,所以不适合采用顺序存储结构
第三题 假设度为0的结点有n0个,度为1的结点有n1个,度为2的结点有n2个
就会有:n0+n1+n2 = 2n
因为度为0的结点一定会比度为二的结点多一个所以有:n0+n1+n0-1 = 2n
由于完全二叉树满足第k层一定是从左到右是连续的,所以度为1的结点只能是0个或者1个,而目前是 2n0 + n1 = 2n + 1
由于结点的数量不可能是小数,所以度为1的结点只能是有一个,不然会出现小数,也就是说以上的式子变为:2n0 = 2n ,也就是说 n0 = n ,叶子结点为n, 选择A
第四题 假设高度为h,我们会发现二叉树里所有结点的和是满足等比数列( a1(1-q^n)/(1-q) )的,根据这个公式可以求出这个二叉树最多是2^h-1个结点(满二叉树), 最少是2^(h-1)-1+1个结点(前k-1层都是满的,第k层就一个结点),所有我们的h要满足这个范围,可以求出h等于10,选择B
第五题 和第三题一样,假设度为0的结点有n0个,度为1的结点有n1个,度为2的结点有n2个就会有:n0+n1+n2 = 767
因为度为0的结点一定会比度为二的结点多一个所以有:n0+n1+n0-1 = 767
由于完全二叉树满足第k层一定是从左到右是连续的,所以度为1的结点只能是0个或者1个,而目前是 2n0 + n1 = 768
由于结点的数量不可能是小数,所以度为1的结点只能是有0个,不然会出现小数,也就是说以上的式子变为:2n0 = 768,也就是说 n0 = 384 ,叶子结点为n, 选择B
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