平均工资数据分析之回归

链接: R语言实战——中国职工平均工资的变化分析——相关与回归分析

1、模型诊断和评估的方法

1. 残差分析

1、残差图 (Residual Plot)：用于检查残差是否存在非随机模式。理想情况下，残差应随机分布在零附近。
2、Q-Q 图 (Quantile-Quantile Plot)：用于检查残差是否符合正态分布。如果残差接近正态分布，Q-Q 图上的点应接近一条直线。
3、Shapiro-Wilk Test：用于检验残差的正态性。p 值大于 0.05 表示残差近似正态分布。

2. 多重共线性检测

方差膨胀因子 (VIF, Variance Inflation Factor)：用于检测多重共线性。如果 VIF 值大于 10，说明存在严重的多重共线性问题。

3. 模型拟合优度

R² 和调整后的 R²：衡量模型解释变异的能力。调整后的 R² 考虑了自变量个数，对模型复杂度进行了惩罚。
AIC (Akaike 信息准则) 和 BIC (贝叶斯信息准则)：用于模型比较，较低的 AIC 或 BIC 表示模型更好。

4. 异常值和影响点

标准化残差 (Standardized Residuals)：用于识别异常值。绝对值大于 2 或 3 的残差可能是异常值。
Cook’s 距离 (Cook’s Distance)：用于识别对模型有显著影响的数据点。Cook’s 距离大于 1 的点可能是影响点。

5. 异方差性检验

Breusch-Pagan Test：用于检测异方差性。如果 p 值小于 0.05，说明存在异方差性问题。
White Test：另一种异方差性检测方法。

6. 自相关性检验

Durbin-Watson Test：用于检测残差的自相关性。值接近 2 表示不存在自相关性，值接近 0 或 4 表示存在自相关性。

7. 预测性能评估

交叉验证 (Cross-Validation)：将数据集分成训练集和测试集，评估模型在未见过的数据上的表现。
均方误差 (MSE, Mean Squared Error) 和 均方根误差 (RMSE, Root Mean Squared Error)：用于衡量模型的预测误差。

2、指数回归（对数模型）——地区

由于指数模型的值会过于大，会出现以下警告

: RuntimeWarning: overflow encountered in exppredicted_values_exp = np.exp(predicted_values)
1

这个警告通常是由于指数函数中的值过大而引起的。当预测值非常大时，应用指数函数可能会导致数值溢出（overflow）

因此：使用对数函数：如果数据呈现指数型增长，可以考虑使用对数函数进行拟合和预测。这样可以将指数型增长的问题转化为线性回归问题。

（1）构建对数模型并可视化

（2）模型诊断的评估

1. Omnibus（Omnibus test of normality）：
   这个统计量是对模型中误差项的正态性进行综合检验的统计量。正态性是线性回归模型的一个重要假设，即模型的残差应该近似服从正态分布。Omnibus统计量的p值提供了一个关于模型中误差项是否服从正态分布的检验结果。如果p值低于某个显著性水平（通常是0.05），则拒绝了误差项服从正态分布的假设。p值应该越大越好，因为大的p值表示误差项符合正态分布的假设越合理。
2. Skewness（Skewness of residuals）：
   偏度是衡量数据分布偏斜程度的统计量。在线性回归模型中，残差的偏度可以用来检验误差项是否符合正态分布。如果残差的偏度接近于0，则表示数据分布大致对称。如果偏度值大于0，则表示数据分布右偏，即正偏。如果偏度值小于0，则表示数据分布左偏，即负偏。通常认为，偏度的绝对值大于2时，数据分布具有显著的偏斜。偏度应该接近于0，因为接近于0表示数据分布大致对称，符合正态分布的特征。
3. Kurtosis（Kurtosis of residuals）：
   峰度是衡量数据分布峰态（峰的陡峭程度）的统计量。在线性回归模型中，残差的峰度可以用来检验误差项是否符合正态分布。如果残差的峰度接近于0，则表示数据分布具有正常的峰态。如果峰度值大于0，则表示数据分布具有尖峰，即峰态较高。如果峰度值小于0，则表示数据分布扁平，即峰态较低。与偏度类似，通常认为，峰度的绝对值大于2时，数据分布具有显著的峰态。峰度应该接近于0，因为接近于0表示数据分布的峰态与正态分布相似，没有明显的尖峰或扁平。
4. Durbin-Watson statistic：
   杜宾-沃森统计量是用来检验残差是否存在自相关（序列相关）的统计量。自相关是指残差之间的相关性，如果残差之间存在自相关，意味着模型中的一些信息没有被完全捕捉到，可能导致模型的估计结果不准确。Durbin-Watson统计量的取值范围为0到4之间，如果接近于2，则表示残差之间不存在自相关；如果接近于0或4，则表示存在正向或负向自相关。通常认为，当Durbin-Watson统计量的值在1.5到2.5之间时，不存在严重的自相关问题。值接近于2，因为接近于2表示残差之间不存在自相关，即模型中没有未被捕捉到的序列相关性。

Q-Q图

残差图

3、多项式回归及检验——地区

（1）构建模型并可视化

（2）模型诊断评估

5. Shapiro-Wilk Test
   W 值：Shapiro-Wilk Test 的统计量。这个值接近于1时，表示样本数据与正态分布相符。
   p 值：Shapiro-Wilk Test 的显著性水平。如果 p 值小于某个阈值（通常为 0.05），我们拒绝原假设，认为数据不服从正态分布。反之，如果 p 值大于 0.05，我们不能拒绝原假设，认为数据服从正态分布。
   作用和意义
   Shapiro-Wilk Test 的主要作用是检验数据正态性，这在统计分析中非常重要，因为许多统计方法（如 t 检验、回归分析）假设数据是正态分布的。如果数据不符合正态分布，这些方法的结果可能不可靠。
   残差正态性：在回归分析中，残差应该近似正态分布。这是因为正态分布的残差意味着模型的假设是合理的，且估计的系数和预测是可靠的。
   模型诊断：如果残差不符合正态分布，可能表明模型不适合数据，或者数据中存在异常值、异方差性等问题。

Q-Q图

残差图

4、多元线性回归（增加变量gdp、人口增长率）

5、预测

（1）指数预测

（2）多项式预测