算法沉淀——动态规划之子序列问题（下）（leetcode真题剖析）_给定一个二维数组 arrays,其中 arrays[i] 是一个严格递增的正整数数组

01.最长定差子序列

题目链接：https://leetcode.cn/problems/longest-arithmetic-subsequence-of-given-difference/

给你一个整数数组 arr 和一个整数 difference，请你找出并返回 arr 中最长等差子序列的长度，该子序列中相邻元素之间的差等于 difference 。

子序列 是指在不改变其余元素顺序的情况下，通过删除一些元素或不删除任何元素而从 arr 派生出来的序列。

示例 1：

输入：arr = [1,2,3,4], difference = 1
输出：4
解释：最长的等差子序列是 [1,2,3,4]。
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示例 2：

输入：arr = [1,3,5,7], difference = 1
输出：1
解释：最长的等差子序列是任意单个元素。
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示例 3：

输入：arr = [1,5,7,8,5,3,4,2,1], difference = -2
输出：4
解释：最长的等差子序列是 [7,5,3,1]。 
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提示：

• 1 <= arr.length <= 105
• -104 <= arr[i], difference <= 104

思路

1. 状态表达： 定义动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个位置的元素为结尾的所有子序列中，最长的等差子序列的长度。
2. 状态转移方程： 对于 dp[i]，上一个定差子序列的取值定为 arr[i] - difference。只要找到以上一个数为结尾的定差子序列长度的 dp[arr[i] - difference]，然后加上 1，就是以 i 为结尾的定差子序列的长度。这里可以使用哈希表进行优化，将元素和 dp[j] 绑定，放入哈希表中。
3. 初始化： 刚开始的时候，需要把第一个元素放进哈希表中，即 hash[arr[0]] = 1。
4. 填表顺序： 根据状态转移方程，填表顺序是从左往右。
5. 返回值： 根据状态表达，返回整个 dp 数组中的最大值。

代码

class Solution {
public:
    int longestSubsequence(vector<int>& arr, int difference) {
        unordered_map<int,int> hash;
        hash[arr[0]]=1;

        int ret=1;
        for(int i=1;i<arr.size();i++){
            hash[arr[i]]=hash[arr[i]-difference]+1;
            ret=max(ret,hash[arr[i]]);
        }
        return ret;
    }
};
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02.最长的斐波那契子序列的长度

题目链接：https://leetcode.cn/problems/length-of-longest-fibonacci-subsequence/

如果序列 X_1, X_2, ..., X_n 满足下列条件，就说它是 斐波那契式 的：

• n >= 3
• 对于所有 i + 2 <= n，都有 X_i + X_{i+1} = X_{i+2}

给定一个严格递增的正整数数组形成序列 arr ，找到 arr 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果一个不存在，返回 0 。

（回想一下，子序列是从原序列 arr 中派生出来的，它从 arr 中删掉任意数量的元素（也可以不删），而不改变其余元素的顺序。例如， [3, 5, 8] 是 [3, 4, 5, 6, 7, 8] 的一个子序列）

示例 1：

输入: arr = [1,2,3,4,5,6,7,8]
输出: 5
解释: 最长的斐波那契式子序列为 [1,2,3,5,8] 。
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示例 2：

输入: arr = [1,3,7,11,12,14,18]
输出: 3
解释: 最长的斐波那契式子序列有 [1,11,12]、[3,11,14] 以及 [7,11,18] 。
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提示：

• 3 <= arr.length <= 1000
• 1 <= arr[i] < arr[i + 1] <= 10^9

思路

1. 状态表达： 定义动态规划数组 dp，其中 dp[j][i] 表示以第 j 位置以及第 i 位置的元素为结尾的所有的子序列中，最长的斐波那契子序列的长度。
2. 状态转移方程： 设 nums[j] = b，nums[i] = c，那么这个序列的前一个元素就是 a = c - b。根据 a 的情况讨论：
   • 如果 a 存在，下标为 k，并且 a < b，那么 dp[j][i] = dp[k][j] + 1；
   • 如果 a 存在，但是 b < a < c，那么 dp[j][i] = 2；
   • 如果 a 不存在，那么 dp[j][i] = 2。
3. 优化点： 在状态转移方程中，需要确定 a 元素的下标，可以在填表之前，将所有的「元素 + 下标」绑定在一起，放到哈希表中。
4. 初始化： 将表里面的值都初始化为 2。
5. 填表顺序：
   • 先固定最后一个数；
   • 然后枚举倒数第二个数。
6. 返回值： 返回 dp 表中的最大值 ret。但是 ret 可能小于 3，小于 3 说明不存在，需要判断一下。

代码

class Solution {
public:
    int lenLongestFibSubseq(vector<int>& arr) {
        int n=arr.size();
        unordered_map<int,int> hash;
        for(int i=0;i<n;i++) hash[arr[i]]=i;

        vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n,2));
        int ret=2;
        for(int i=2;i<n;++i){
            for(int j=1;j<i;j++){
                int x=arr[i]-arr[j];
                if(x<arr[j]&&hash.count(x))
                    dp[j][i] = dp[hash[x]][j]+1;
                ret = max(ret,dp[j][i]);
            }
        }
        return ret<3?0:ret;
    }
};
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03.最长等差数列

题目链接：https://leetcode.cn/problems/longest-arithmetic-subsequence/

给你一个整数数组 nums，返回 nums 中最长等差子序列的长度。

回想一下，nums 的子序列是一个列表 nums[i1], nums[i2], ..., nums[ik] ，且 0 <= i1 < i2 < ... < ik <= nums.length - 1。并且如果 seq[i+1] - seq[i]( 0 <= i < seq.length - 1) 的值都相同，那么序列 seq 是等差的。

示例 1：

输入：nums = [3,6,9,12]
输出：4
解释： 
整个数组是公差为 3 的等差数列。
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示例 2：

输入：nums = [9,4,7,2,10]
输出：3
解释：
最长的等差子序列是 [4,7,10]。
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示例 3：

输入：nums = [20,1,15,3,10,5,8]
输出：4
解释：
最长的等差子序列是 [20,15,10,5]。 
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提示：

• 2 <= nums.length <= 1000
• 0 <= nums[i] <= 500

思路

1. 状态表达： 定义动态规划数组 dp，其中 dp[i][j] 表示以第 i 位置以及第 j 位置的元素为结尾的所有的子序列中，最长的等差序列的长度。
2. 状态转移方程： 设 nums[i] = b，nums[j] = c，那么这个序列的前一个元素就是 a = 2 * b - c。根据 a 的情况讨论：
   • 如果 a 存在，下标为 k，并且 a < b，那么我们需要以 k 位置以及 i 位置元素为结尾的最长等差序列的长度，然后再加上 j 位置的元素即可。于是 dp[i][j] = dp[k][i] + 1。这里因为会有许多个 k，我们仅需离 i 最近的 k 即可。因此任何最长的都可以以 k 为结尾；
   • 如果 a 存在，但是 b < a < c，那么 dp[i][j] = 2；
   • 如果 a 不存在，那么 dp[i][j] = 2。
3. 优化点： 在状态转移方程中，需要确定 a 元素的下标。可以一边动态规划，一边保存最近的元素的下标，不用保存下标数组。遍历的时候，先固定倒数第二个数，再遍历倒数第一个数。这样可以在 i 使用完时候，将 nums[i] 扔到哈希表中。
4. 初始化： 将表里面的值都初始化为 2。
5. 填表顺序：
   • 先固定倒数第二个数；
   • 然后枚举倒数第一个数。
6. 返回值： 返回 dp 表中的最大值。

代码

class Solution {
public:
    int longestArithSeqLength(vector<int>& nums) {
        unordered_map<int,int> hash;
        hash[nums[0]]=0;

        int n=nums.size();
        vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n,2));
        int ret=2;

        for(int i=1;i<n;i++){
            for(int j=i+1;j<n;j++){
                int x=2*nums[i]-nums[j];
                if(hash.count(x)) dp[i][j] = dp[hash[x]][i] + 1;
                ret=max(ret,dp[i][j]);
            }
            hash[nums[i]]=i;
        }

        return ret;
    }
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04.等差数列划分 II - 子序列

题目链接：https://leetcode.cn/problems/arithmetic-slices-ii-subsequence/

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中所有 等差子序列 的数目。

如果一个序列中 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该序列为等差序列。

• 例如，[1, 3, 5, 7, 9]、[7, 7, 7, 7] 和 [3, -1, -5, -9] 都是等差序列。
• 再例如，[1, 1, 2, 5, 7] 不是等差序列。

数组中的子序列是从数组中删除一些元素（也可能不删除）得到的一个序列。

• 例如，[2,5,10] 是 [1,2,1,***2***,4,1,***5\***,***10***] 的一个子序列。

题目数据保证答案是一个 32-bit 整数

示例 1：

输入：nums = [2,4,6,8,10]
输出：7
解释：所有的等差子序列为：
[2,4,6]
[4,6,8]
[6,8,10]
[2,4,6,8]
[4,6,8,10]
[2,4,6,8,10]
[2,6,10]
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示例 2：

输入：nums = [7,7,7,7,7]
输出：16
解释：数组中的任意子序列都是等差子序列。
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提示：

• 1 <= nums.length <= 1000
• -231 <= nums[i] <= 231 - 1

思路

1. 状态表达： 定义动态规划数组 dp，其中 dp[i][j] 表示以第 i 位置以及第 j 位置的元素为结尾的所有的子序列中，等差子序列的个数。
2. 状态转移方程： 设 nums[i] = b，nums[j] = c，那么这个序列的前一个元素就是 a = 2 * b - c。根据 a 的情况讨论：
   • 如果 a 存在，下标为 k，并且 a < b，那么以 k 元素以及 i 元素结尾的等差序列的个数为 dp[k][i]，在这些子序列的后面加上 j 位置的元素依旧是等差序列。但是这里会多出来一个以 k, i, j 位置的元素组成的新的等差序列，因此 dp[i][j] += dp[k][i] + 1；
   • 因为 a 可能有很多个，需要全部累加起来。
3. 优化点： 在状态转移方程中，需要确定 a 元素的下标。因此在 dp 之前，将所有元素和下标数组绑定在一起，放到哈希表中。这里保存下标数组是因为需要统计个数。
4. 初始化： 刚开始是没有等差数列的，因此初始化 dp 表为 0。
5. 填表顺序：
   • 先固定倒数第一个数；
   • 然后枚举倒数第二个数。
6. 返回值： 统计所有的等差子序列，返回 dp 表中所有元素的和。

代码

class Solution {
public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();

        unordered_map<long long,vector<int>> hash;
        for(int i=0;i<n;i++) hash[nums[i]].push_back(i);

        vector<vector<int>> dp(n,vector<int>(n));
        int sum=0;

        for(int j=2;j<n;j++){
            for(int i=1;i<j;i++){
                long long x=(long long)nums[i]*2-nums[j];
                if(hash.count(x)) 
                    for(int& k:hash[x])
                        if(k<i) dp[i][j]+=dp[k][i]+1;
                sum+=dp[i][j];
            }
        }
        return sum;
    }
};
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