最长公共子序列(LIS和LCS)_题目描述 给出1-n的两个排列p1和p2,求它们的最长公共子序列。

题目

题目描述
给出1-n的两个排列P1和P2，求它们的最长公共子序列。
输入输出格式
输入格式
第一行是一个数n，
接下来两行，每行为n个数，为自然数1-n的一个排列。
输出格式
一个数，即最长公共子序列的长度
输入输出样例
输入样例 #1
3 2 1 4 5
1 2 3 4 5
输出样例 #1
3
说明
【数据规模】
对于50%的数据，n≤1000
对于100%的数据，n≤100000

思路

对于最长公共子序列，我一直停留在的阶段就是DP的$O(n^2)$的时间复杂度上：

用$f[i][j]$表示的是在序列$a[i]$和序列$b[j]$之前的最长的公共子序列；
那么：

• $f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j])(a[i]!=b[j])$
• $f[i][j]=min(f[i][j],f[i][j-1])(a[i]!=b[j])$
• $f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]+1)(a[i]==b[j])$

这样子的话就可以$O(n^2)$找到最长的公共子序列。

但是对于这一道题而言，我们只能过50%的数据，所以，我们要另找途径A掉这一道题。

仔细观察题面的话，我们可以发现，这两个数列的数字除了位置的不同，其他的数值都是一模一样的，我们可以在其中的一个数列b中找到数列a的所有数字，也就是同一组数字（1~n）的不同的全排列的种类不同罢了。

我们可以通过观察样例引入我们今天的思路：
a: 3 2 1 4 5
b: 1 2 3 4 5

把第一组数列作为标准数列（也就是说这一个数列我们是不进行操作的）

因为两个数列的数字除了位置之外完全一样，所以我们可以在这些数字上做一些操作。
我们把b数列中的数字出现在a数列中的位置记录下来，生成c数列。
c: 3 2 1 4 5

我们再把所有的最长公共子序列和他们对应的c数列(以a数列为标准)都一一列举出来：
3，4，5 -> 1，4，5
2，4，5 -> 2，4，5
1，4，5 -> 3，4，5
这样子的话，我们又可以发现，这些数字对应的正好的c数列中的上升子序列而且正好是最长上升子序列。
还可以在找几个例子自己验证一遍。

最长公共子序列是按位向后比对的，所以a序列每个元素在b序列中的位置如果递增，就说明b中的这个数在a中的这个数整体位置偏后
（这一句摘自 https://www.luogu.org/problemnew/solution/P1439）

通过上面的例子以及相应的解释，我们就可以把a数组出现在b数组中的位置记录下来求一个$LIS$求出最优结果即可。

$LIS$可以使用二分优化，如果不会的请移步：导弹拦截的一大堆系列

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int nn=100003;

int n;
int a[nn], b[nn], v[nn];/*v数组记录位置*/
int f[nn],len;

inline int read()
{
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0'; ch=getchar();}
	return x*f;
} 

int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)	a[i]=read(), v[a[i]]=i;
	for(int i=1;i<=n;++i)	b[i]=read(), b[i]=v[b[i]];
	len=1; f[1]=b[1];
	for(int i=2;i<=n;++i)/*二分优化*/
	{
		int x=lower_bound(f+1,f+1+len,b[i])-f;
		if(f[x]>b[i])	f[x]=b[i];
		else	f[++len]=b[i];
	}
	printf("%d\n",len);
	return 0;
}
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加油！