二分查找算法详解_二分搜寻法

1.介绍

二分查找，也称折半查找(Binary Search)，它是一种效率较高的查找方法，实现原理简单，但细节相对复杂的算法。关于二分查找，有个经典的理解，思路很简单，细节是魔鬼 。 二分查找的常用场景一般包括：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而细节，主要体现在，while循环中用 < 还是 <=，mid是否应该加1等。 下面从常用场景，结合 leetcode 题目，简单介绍下。

2. 寻找一个数

这是最简单的二分查找应用场景，即从有序数组中搜索一个目标数。

题目描述

leetcode 704.二分查找

给定一个n个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9

输出: 4

解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

题目解析

这个题目即是典型的二分查找，为有序数组中，查找目标值，我们定义 mid 为数组中点，即是比较 nums[mid] 与 tagert 大小：

如果 nums[mid] = target，则下标 mid 即为要寻找的下标；

如果 nums[mid] > target，则 target 只可能在下标 mid 的左侧；

如果 nums[mid] < target，则 target 只可能在下标 mid 的右侧。

代码实现

int search(int* nums, int numsSize, int target) {
    int l = 0;
    int r = numsSize - 1;
    while (l <= right) {
        int mid = l + (r - l) / 2;
        if (nums[mid] == target)
            return mid; // 找到目标值，返回下标
        else if (nums[mid] < target)
            l = mid + 1;
        else if (nums[mid] > target)
            r = mid - 1;
    }
    return -1; //目标值不存在，返回-1
}

现在关于细节问题，做下分析理解：

2.1 为什么while循环里要用 <=？

我们注意到，在初始化时，left 值为 0，而 right 值为 numsSize - 1，即最后一个元素的索引为 numsSize - 1，相当于我们的搜索区间为 [left, right]，两端都闭的区间。如果 right初值为 numsSize时，while 循环语句里需要用 <作为条件判断。

2.2 为什么 left = mid + 1 和 right = mid - 1？

如上文描述，我们的搜索区间为 [left, right]，以mid为中点，逐步缩小查找范围，如果在索引 mid里没有找到 target，接下来就要搜索 [left, mid - 1] 和 [mid + 1, right] 区间范围内是否有目标值。

3.寻找左侧边界

题目描述<一>

我们对上面 leetcode 704题目做下修改，在有序数组中，存在元素相等的情况，找到数组中和target相等的 最左侧元素下标

示例:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,9,12], target = 9

输出: 4

解释: 9 出现在 nums 中 最左侧下标为 4

题目解析 结合上面寻找一个数思路分析，在比较 nums[mid] 与 tagert 大小时，如果 nums[mid] = target，下标 mid 即为要寻找的下标，此时不返回，收缩右侧边界接着找下一个r = mid - 1，其他情况和寻找一个数实现相同。

代码实现

int search(int* nums, int numsSize, int target) {
    int l = 0;
    int r = numsSize - 1;
 
    while (l <= right) {
        int mid = l + (r - l) / 2;
        if (nums[mid] == target)
            r = mid - 1; // 找到目标值，收缩右侧边界
        else if (nums[mid] < target)
            l = mid + 1;
        else if (nums[mid] > target)
            r = mid - 1;
    }
 
    if (l < 0 || nums[l] != target)
        return -1;
    return l;
}

题目描述<二>

153. 寻找旋转排序数组中的最小值

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次 旋转 后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]

若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

注意，数组 [a[0], a[1], a[2], ..., a[n-1]] 旋转一次 的结果为数组 [a[n-1], a[0], a[1], a[2], ..., a[n-2]] 。

给你一个元素值 互不相同 的数组 nums ，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的 最小元素 。

题目解析

l 和 r 指针不断向中间移动，进行二分，则有2种情况：

当前节点 比 r 节点的值小， 即 nums[mid] < nums[r]，则 r 等于 mid；

当前节点大于等于 r 节点的时候，即 nums[mid] >= nums[r]，则让 l 等于 mid + 1；

代码实现

int findMin(int* nums, int numsSize){
    int l = 0;
    int r = numsSize - 1;
 
    while (l < r) {
        int mid = l + (r - l) / 2;
        if (nums[mid] < nums[r])
            r = mid;
        else
            l = mid + 1;
    }
 
    return nums[l];
}

int search(int* nums, int numsSize, int target){
    int l = 0;
    int r = numsSize - 1;
 
    while (l <= right) {
        int mid = l + (r - l) / 2;
        if (nums[mid] == target)
            l = mid + 1; // 找到目标值，收缩左侧边界
        else if (nums[mid] < target)
            l = mid + 1;
        else if (nums[mid] > target)
            r = mid - 1;
    }
 
    if (r < 0 || nums[r] != target)
        return -1;
    return r;
}

/**
 * Note: The returned array must be malloced, assume caller calls free().
 */
int* searchRange(int* nums, int numsSize, int target, int* returnSize){
    int *res = (int*)malloc(sizeof(int) * 2);
    res[0] = -1;
    res[1] = -1;
    int left = 0;
    int right = numsSize - 1; 
 
    *returnSize = 2;
/* 找左边界 */
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1;
        else if(nums[mid] > target)
            right = mid - 1;
        else
            right = mid - 1;
    }
/* 以左边界，为起始，找右边界 */
    if (left < numsSize && nums[left] == target) {
        res[0] = left;
        while (left < numsSize - 1) {
            if (nums[left + 1] == target) 
                left++;
            else
                break;
        }
        res[1] = left;
    }
    return res;
}