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奇异值分解（SVD）（Singular Value Decomposition）

作者：我家小花儿 | 2024-02-12 17:28:28

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奇异值分解

奇异值分解在机器学习中经常碰到，今天详细讲讲。本文章中说的"矩阵" / "向量" 都指的是实数矩阵/实数向量，我们只说实数域内的情况。

整数有质因子分解，比如12=2*2*3。分解成2*2*3后，比单单研究12这个数，我们会容易得到一些信息，比如，12这个数不能整除5；一个数 n 乘12后，会整除 2 和 3；等等。

那么矩阵呢，我们是否可以像整数的质因子分解一样进行分解？这样比单单研究这个矩阵也许就会获得很多有用的信息。答案是任何一个矩阵都可以进行奇异值分解，并且奇异值分解很有用。

本篇文章的目录如下：

特征分解（Eigendecomposition）

特征向量与特征值

有n个线性独立特征向量的方阵性质，包括几何解释

什么样的矩阵有n个线性独立特征向量

奇异值分解（Singular Value Decomposition）

我们在说奇异值分解之前，需要先说说特征值分解。

特征分解（Eigendecomposition）

特征向量与特征值

首先，特征分解只适用于方阵。

我们可以定义特征向量。如果一个非0向量 $\boldsymbol{v}$ 满足 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}=\lambda \boldsymbol{v}$ ，那么这个非0向量 $\boldsymbol{v}$ 就是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量。

一个矩阵 $\boldsymbol{A}_{n\times n}$ 可能没有特征向量，也可能有特征向量。如果有特征向量，也可能有 $\boldsymbol{n}$ 个线性独立的特征向量，或者 $<\boldsymbol{n}$ 个线性独立的特征向量。

有n个线性独立特征向量的方阵性质，包括几何解释

如果一个矩阵 $\boldsymbol{A}_{n\times n}$ 有特征向量，并且有 $\boldsymbol{n}$ 个线性独立的特征向量，我们可以分析出来一些有用的信息，那可以分析出来什么信息呢？我们可以简单地推导一下：

一、代数性质

我们记这 $\boldsymbol{n}$ 个线性独立的特征向量为 $\{\boldsymbol{v^{(1)},...,v^{(n)}}\}$ ，并且对应的特征值为 $\{\lambda _{1},...,\lambda _{n}\}$ 。我们将每一个特征向量作为一列拼起来，形成特征向量矩阵 $\boldsymbol{V}=[\boldsymbol{v^{(1)}},...,\boldsymbol{v^{(n)}}]$ ，同理我们把相应的特征值拼成一个向量 $\boldsymbol{\lambda }=[\lambda _{1},...,\lambda _{n}]^{T}$ ，那么我们可以得到：

$\boldsymbol{A}\boldsymbol{V}=\boldsymbol{V}diag(\boldsymbol{\lambda })$

由于 $\boldsymbol{V}$ 是 n 阶方阵，并且所有列都相互线性独立，所有 $\boldsymbol{V}$ 的逆 $\boldsymbol{V}^{-1}$ 存在，所有可得：

$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{V}diag(\boldsymbol{\lambda })\boldsymbol{V}^{-1}$

如果 $\boldsymbol{V}$ 能化为正交矩阵（将 $\boldsymbol{V}$ 中的每一列都化为单位向量，当然此时的 $\boldsymbol{\lambda }$ 也发生了改变），那么可以得到一个正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，由于正交矩阵 $\boldsymbol{Q}^{-1}=\boldsymbol{Q}^{T}$ ，可以得到：

$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}diag(\boldsymbol{\Lambda })\boldsymbol{Q}^{T}$

（实对称矩阵 $\boldsymbol{A}_{n\times n}$ 可以进行特征分解 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}diag(\boldsymbol{\Lambda })\boldsymbol{Q}^{T}$ ）

二、几何性质

上述都是基于公式推导理解，有没有特征值分解的几何理解呢？我们不妨先基于二维平面做一下分析。

假设 $\boldsymbol{A}_{2\times 2}$ 有2个线性独立的特征向量 $\boldsymbol{v}^{(1)}$ 和 $\boldsymbol{v}^{(2)}$ （假设我们已经将这两个特征向量化简成了正交单位向量），以及对应的特征值 $\lambda _{1}$ 和 $\lambda _{2}$ 。我们可以分析二维平面单位圆上的点，设这个单位圆上每一个点的坐标是 $(x,y)$ ,每一个点的点向量是 $\boldsymbol{u}$ ，我们都知道 $\boldsymbol{u} = x\boldsymbol{v}^{(1)}+y\boldsymbol{v}^{(2)}$ 且 $x^{2}+y^{2}=1$ 。

如果我们给 $\boldsymbol{u}$ 左乘 $\boldsymbol{A}_{2\times 2}$ 得到 $\boldsymbol{Au}$ 向量，该点坐标为 $({x}',{y}')$ ，那么 $\boldsymbol{Au}=\boldsymbol{A}(x\boldsymbol{v}^{(1)}+y\boldsymbol{v}^{(2)})=x\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}^{(1)}+y\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}^{(2)}=x\lambda _{1}\boldsymbol{v}^{(1)}+y\lambda _{2}\boldsymbol{v}^{(2)}$

根据推导出来的式子我们得知 $\boldsymbol{Au}$ 的点坐标为 $(x\lambda _{1},y\lambda _{2})$ ， $\boldsymbol{Au}$ 向量的两个点坐标相等，故而 $\left\{\begin{matrix} {x}'=x\lambda _{1}\\ {y}'=y\lambda _{2}\end{matrix}\right.$ 。由于 $x^{2}+y^{2}=1$ ，所以得 $\frac{{x}'^{2}}{\lambda _{1}^{2}}+\frac{{y}'^{2}}{\lambda _{2}^{2}}=1$ ，这是个椭圆呀～，可以下结论了，一个圆上所有点左乘一个 $\boldsymbol{A}$ 会使得这个圆变成椭圆，并且哪个特征向量的特征值越大，原向量 $\boldsymbol{u}$ 变成 $\boldsymbol{Au}$ 的过程中就会偏向哪个特征向量，与这个特征值大的特征向量之间的夹角就会变小，如下图所示：

我们将单位圆上的点推广到二维平面的所有圆上的点（也就是二维平面上的所有点），该点对应的向量左乘 $\boldsymbol{A}$ 都会使该向量发生转变（方向和模都变）， $\boldsymbol{A}$ 的哪个特征向量的特征值大，转变后的向量就越偏向那个特征向量，与其夹角会变小，并且转变后的向量的模大程度受 $\boldsymbol{A}$ 的最大特征值的影响。

什么样的矩阵有n个线性独立特征向量

实对称矩阵 $\boldsymbol{A}_{n\times n}$ 一定有n个线性独立特征向量，并可以进行特征分解 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}diag(\boldsymbol{\Lambda })\boldsymbol{Q}^{T}$ 。但是有n个线性独立特征向量的矩阵不一定是实对称矩阵。具体的证明就不在这里说啦，想找证明的话书上找找叭～

即使实对称矩阵肯定可以进行特征分解，但是特征分解有可能不是唯一的。如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 有2个线性独立的特征向量 $\boldsymbol{v}^{(1)}$ 和 $\boldsymbol{v}^{(2)}$ 的特征值一样为 $\lambda _{}$ 并且 $\boldsymbol{u} = x\boldsymbol{v}^{(1)}+y\boldsymbol{v}^{(2)}$ ，那么 $\boldsymbol{u}$ 也是 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量且特征值一样为 $\lambda _{}$ ，所以特征分解也就不是唯一的：

$\boldsymbol{Au}=\boldsymbol{A}(x\boldsymbol{v}^{(1)}+y\boldsymbol{v}^{(2)})=x\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}^{(1)}+y\boldsymbol{A}\boldsymbol{v}^{(2)}=x\lambda _{}\boldsymbol{v}^{(1)}+y\lambda _{}\boldsymbol{v}^{(2)}=\lambda _{}(x\boldsymbol{v}^{(1)}+y\boldsymbol{v}^{(2)})=\lambda _{}\boldsymbol{u}$

奇异值分解（Singular Value Decomposition）

左奇异向量、右奇异向量、奇异值

只有方阵可以进行特征分解。对于一般的矩阵，可以用奇异值分解进行分解。一个一般的矩阵可以被分解成这样：

$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{U}\boldsymbol{D}\boldsymbol{V}^{T}$ （把各个矩阵的维度标出来的话就是 $\boldsymbol{A}_{m\times n}=\boldsymbol{U}_{m\times m}\boldsymbol{D}_{m\times n}\boldsymbol{V}_{n\times n}^{T}$ ）

其中：

1、 $\boldsymbol{U}$ 是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{T}$ 的特征向量矩阵（是正交矩阵）; $\boldsymbol{U}$ 的列向量称为左奇异向量（left singular vector）。

2、 $\boldsymbol{V}$ 是 $\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{A}$ 的特征向量矩阵（是正交矩阵）; $\boldsymbol{V}$ 的列向量称为右奇异向量（right singular vector）。

3、 $\boldsymbol{D}$ 是对角矩阵， $\boldsymbol{D}$ 中对角线上的非0值叫做 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，是 $\boldsymbol{A}^{T}\boldsymbol{A}$ 的非0特征值的平方根，同时也是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{A}^{T}$ 的非0特征值的平方根。（ $\boldsymbol{D}$ 中对角线上的值从大到小降序排列； $\boldsymbol{D}$ 对角线上非0值的个数是 $\boldsymbol{A}$ 的秩，其<=min(m,n) ）。 $\boldsymbol{D}$ 中非0值称为奇异值（singular value）。

至于奇异值分解基本定理的证明，可以参考李航老师的统计学习方法第二版第15章奇异值分解～，写的真的很明白！这里就不证明了。

奇异值分解的几何解释

实对称矩阵的特征值分解的几何解释是：对任意向量 $\boldsymbol{u}$ 左乘一个实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ ，则 $\boldsymbol{u}$ 在同一个空间内会发生缩放变换。

一般矩阵的奇异值分解我们就不仔细推导了，我们简单了解一下。先说结论， $m\times n$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 表示从 n 维空间 $\boldsymbol{R}^{n}$ 到 m 维空间 $\boldsymbol{R}^{n}$ 的一个线性变换。

给一个向量 $\boldsymbol{u}$ 左乘一个任意矩阵 $\boldsymbol{A}_{m\times n}$ ， $\boldsymbol{A}\boldsymbol{u}=\boldsymbol{U}\boldsymbol{D}\boldsymbol{V}^{T}\boldsymbol{u}=\boldsymbol{U}(\boldsymbol{D}(\boldsymbol{V}^{T}\boldsymbol{u}))$ ，我们从后往前看，先对 $\boldsymbol{u}$ 左乘 $\boldsymbol{V}^{T}$ ,做相同维度 n 上的旋转变换；再在其基础上左乘 $\boldsymbol{D}$ ，做之前维度 n 上的缩放变换然后拔高/降低维度至 m ；再在其基础上左乘 $\boldsymbol{U}$ ，做m维度上的旋转变换。

紧奇异值分解和截断奇异值分解

之前说的奇异值分解的式子 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{U}\boldsymbol{D}\boldsymbol{V}^{T}$ 又称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的完全奇异值分解，实际上为了压缩矩阵存储空间，常用的是奇异值分解的紧凑形式和截断形式。紧奇异值分解是与原始矩阵等秩的奇异值分解，截断奇异值分解是比原始矩阵低秩的奇异值分解。

1、紧奇异值分解：

若一般矩阵 $A_{m\times n}$ ，其秩为 rank( $\boldsymbol{A}$ ) = r ， r <=min(m,n)，那么 $\boldsymbol{A}$ 的紧奇异值分解就是：

$\boldsymbol{A_{m\times n}} = \boldsymbol{U}_{m\times r}\boldsymbol{D}_{r\times r}\boldsymbol{V}_{n\times r}^{T}$

注意这里是等号哦，其实 $\boldsymbol{D}_{r\times r}$ 就是将原来的 $\boldsymbol{D}$ 中的 0 项都去掉，只保留 r 个非 0 奇异值构成的对角方阵，其 $\boldsymbol{U}_{m\times r}$ 是 $\boldsymbol{U}$ 的前 r 列，其 $\boldsymbol{V}_{n\times r}$ 是 $\boldsymbol{V}$ 的前 r 列。

2、截断奇异值分解：

若一般矩阵 $A_{m\times n}$ ，其秩为 rank( $\boldsymbol{A}$ ) = r ， r <=min(m,n)，且 0<k<r ，那么 $\boldsymbol{A}$ 的截断奇异值分解就是：

$\boldsymbol{A_{m\times n}} \approx \boldsymbol{U}_{m\times k}\boldsymbol{D}_{k\times k}\boldsymbol{V}_{n\times k}^{T}$

注意这里是约等号哦，这里的 $\boldsymbol{D}_{k\times k}$ 是原来的 $\boldsymbol{D}$ 取前 k 行前 k 列的对角方阵，其 $\boldsymbol{U}_{m\times k}$ 是 $\boldsymbol{U}$ 的前 k 列，其 $\boldsymbol{V}_{n\times k}$ 是 $\boldsymbol{V}$ 的前 k 列。

奇异值分解与矩阵近似

奇异值分解是一种矩阵近似的方法，这个近似是在（Frobenius norm）意义下的对矩阵的最优近似。

矩阵 A 的 Frobenius norm ：

具体的证明有点复杂，可参考李航老师的统计学习方法第二版第15章奇异值分解。

奇异值分解的应用

有关奇异值分解的应用，有PCA 主成分计算、 LSA 等。

可参考：

主成分分析（PCA）（principal component analysis）

潜在语义分析（LSA）（latent semantic analysis）

呼，终于完事了，今天的奇异值分解到这里就结束啦，欢迎各位大佬留言吖～

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