奇异矩阵

参考: 可汗学院线性代数

1、奇异矩阵

如果矩阵A不可逆,则称矩阵A是奇异矩阵。

2、非奇异矩阵

对一个n行n列的非零矩阵A，如果存在一个矩阵B使AB=BA=I（I是单位矩阵），则称A是可逆的，也称A为非奇异矩阵。

3、奇异矩阵的特点

看一个二阶矩阵的例子:
A = [ a b c d ] A =

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}$$ A=[ac​bd​]

A − 1 = 1 a d − b c [ d − b − c a ] A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}

$$\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{bmatrix}$$ A−1=ad−bc1​[d−c​−ba​]

如果矩阵A不可逆,那么: ad = bc.

矩阵A的行列式:
∣ A ∣ = ∣ a b c d ∣ = a d − b c \left| A \right| = \left|

$$\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}$$ \right|= a d - b c ∣A∣=∣∣∣∣​ac​bd​∣∣∣∣​=ad−bc

也就是说:如果一个矩阵是奇异矩阵,那么他的行列式等于零。

4、奇异矩阵的几何意义

对于2个向量:
a ⃗ = [ 1 1 ] \vec a =

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$$ a =[11​]

b ⃗ = [ 2 2 ] \vec b =

$$\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$$ b =[22​]

组成的矩阵A是一个奇异矩阵:
A = [ 1 2 1 2 ] A =

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$$ A=[11​22​]
那么说明向量$\vec{a}$和$\vec{b}$是重合或者平行关系。