机器人学之运动学笔记【4】—— 逆向运动学（Inverse Kinematics）

机器人逆运动学问题：又称机器人运动学方程的逆解或间接位置求解，指给定机器人抹点执行器的位置和姿态，求解可到达给定位置和姿态的各关节的角度值。

1. 逆向求解概念

1.1 了解

假设手臂有六自由度，就有六个未知的 joint angles，根据逆运动学概念，我们已知的是{6}相对{0}的变换矩阵：

旋转矩阵部分有9个数字，表示三个自由度，说明里边有六个限制条件，其中三个条件是 X、Y、Z 都是单位向量，长度都是1；另外三个条件是两两垂直。

{6}的原点位置相对于{0}坐标系的三个数字是独立的，所以里边包含了三个自由度。

所以矩阵里边共有六个自由度，共有12个方程式，六个限制条件，求解六个未知数。

1.2 Reachable workspace & Dexterous workspace

Reachable workspace:手臂可以用一种以上的姿态到达的位置；
Dexterous workspace：手臂可以用任何的姿态到达的位置（例如下图右图中的原点）。

1.3 Subspace

Subspace:手臂在定义头尾的T所能达到的变动范围。

为末端点指定一个位置，则 x 和 y 确定，进而此时旋转矩阵也被唯一确定了，并且其中还有5个无法改变的量，说明可到达姿态是受限的。

2. 多重解

由于是 nonlinear transcendental equations(非线性超越方程组)问题，6未知数6方程式不代表具有唯一解。

2.1 举例理解

一个PUMA机械臂，让末端执行器到达一个指定姿态，会有8组不同的解。

• 前三轴不同的姿态组合会出现4组解：
  
• 每一个姿态中，具有两组手腕转动姿态，所以4*2=8组解：
  
• 若手臂本身有几何限制，并非每一种解都可以实现

2.2 多重解的选择方式

• 离目前状态最近的解
  最快
  最省能
  …

• 避开障碍物

3. 求解方式

3.1 解析法 Closed-form solutions

• 用代数 algebraic 或 几何 geometric 方法
• 数值法
• 目前大多数机械臂设计成具有解析解
  Pieper’s solution：相邻三轴相交一点

4. 例题

4.1 几何法求解

将空间几何切割成平面几何

量化计算走一遍流程：

4.2 代数法求解

5.三角函数方程式求解

变换方法：

例题：如何求解 acosθ + bsinθ = c 的 θ ？

6. Pieper’s solution

如果 6-DOF manipulator 具有三个连续的轴交在同一点，则手臂有解析解。

一般会把后三轴如此设计，前三轴用来产生移动，后三轴用来产生转动。因为后三轴交一点，所以：

这里的处理方法没有将 θ1、θ2、θ3 全部乘开展示出来，那样太复杂，而是将 θ3 包含在 f 中， θ2 和 θ3 包含在 g 中，θ1单独放在外面。

有如下关系：

乘开整理得：

令：

代入得：

这样 θ2 和 θ3 就重整为一个看起来很干净的形式，r 中消掉了 θ1 这个参数。

如果把 z 单独取出来，就是：

z 也是 θ2 和 θ3 的函数。

由此可见，原来的三条关系，三个变量，就变成了 r 和 z 这两条关系，包含 θ2 和 θ3 这两个变量。

k1、k2、k3、k4 里面包含θ3，θ2是外显在外面的

最后，求出θ2 和 θ1：

至此，移动部分就处理完了，下面来看转动部分：

7. 物件取放任务

现阶段任务：为使RRRRRR手臂能以下图姿态夹住杯子（任务的起始点C），手臂的6个 joint angles 需为何？

1. 定义DH表
2. 找出杯子的坐标系相对于世界坐标系的变换矩阵，再进一步找出 {6} 对 {0} 的 T，杯子相对于世界 = 杯子相对于桌子 * 桌子相对于世界
3. 层层分离，求θ1 - θ6