压缩感知重构算法之正交匹配追踪(OMP)

题目：压缩感知重构算法之正交匹配追踪(OMP)

        前面经过几篇的基础铺垫，本篇给出正交匹配追踪(OMP)算法的MATLAB函数代码，并且给出单次测试例程代码、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码、信号稀疏度K与重构成功概率关系曲线绘制例程代码。

0、符号说明如下：

        压缩观测y=Φx，其中y为观测所得向量M×1，x为原信号N×1（M<<N）。x一般不是稀疏的，但在某个变换域Ψ是稀疏的，即x=Ψθ，其中θ为K稀疏的，即θ只有K个非零项。此时y=ΦΨθ，令A=ΦΨ，则y=Aθ。

        (1) y为观测所得向量，大小为M×1

        (2)x为原信号，大小为N×1

        (3)θ为K稀疏的，是信号在x在某变换域的稀疏表示

        (4)Φ称为观测矩阵、测量矩阵、测量基，大小为M×N

        (5)Ψ称为变换矩阵、变换基、稀疏矩阵、稀疏基、正交基字典矩阵，大小为N×N

        (6)A称为测度矩阵、传感矩阵、CS信息算子，大小为M×N

上式中，一般有K<<M<<N，后面三个矩阵各个文献的叫法不一，以后我将Φ称为测量矩阵、将Ψ称为稀疏矩阵、将A称为传感矩阵。

1、OMP重构算法流程：

2、正交匹配追踪(OMP)MATLAB代码(CS_OMP.m)

function [ theta ] = CS_OMP( y,A,t )
%CS_OMP Summary of this function goes here
%Version: 1.0 written by jbb0523 @2015-04-18
%   Detailed explanation goes here
%   y = Phi * x
%   x = Psi * theta
%	y = Phi*Psi * theta
%   令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta
%   现在已知y和A，求theta
    [y_rows,y_columns] = size(y);
    if y_rows<y_columns
        y = y';%y should be a column vector
    end
    [M,N] = size(A);%传感矩阵A为M*N矩阵
    theta = zeros(N,1);%用来存储恢复的theta(列向量)
    At = zeros(M,t);%用来迭代过程中存储A被选择的列
    Pos_theta = zeros(1,t);%用来迭代过程中存储A被选择的列序号
    r_n = y;%初始化残差(residual)为y
    for ii=1:t%迭代t次，t为输入参数
        product = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积
        [val,pos] = max(abs(product));%找到最大内积绝对值，即与残差最相关的列
        At(:,ii) = A(:,pos);%存储这一列
        Pos_theta(ii) = pos;%存储这一列的序号
        A(:,pos) = zeros(M,1);%清零A的这一列，其实此行可以不要，因为它与残差正交
        %y=At(:,1:ii)*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square)
        theta_ls = (At(:,1:ii)'*At(:,1:ii))^(-1)*At(:,1:ii)'*y;%最小二乘解
        %At(:,1:ii)*theta_ls是y在At(:,1:ii)列空间上的正交投影
        r_n = y - At(:,1:ii)*theta_ls;%更新残差        
    end
    theta(Pos_theta)=theta_ls;%恢复出的theta
end

3、OMP单次重构测试代码(CS_Reconstuction_Test.m)

        代码中，直接构造一个K稀疏的信号，所以稀疏矩阵为单位阵。

%压缩感知重构算法测试
clear all;close all;clc;
M = 64;%观测值个数
N = 256;%信号x的长度
K = 10;%信号x的稀疏度
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,1);
x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的
Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵
A = Phi * Psi;%传感矩阵
y = Phi * x;%得到观测向量y
%% 恢复重构信号x
tic
theta = CS_OMP(y,A,K);
x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
toc
%% 绘图
figure;
plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号
hold on;
plot(x,'r');%绘出原信号x
hold off;
legend('Recovery','Original')
fprintf('\n恢复残差：');
norm(x_r-x)%恢复残差

运行结果如下：（信号为随机生成，所以每次结果均不一样）

1）图：

2）Command Windows

Elapsed time is 0.849710 seconds.
恢复残差：
ans =
  5.5020e-015

4、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码

%压缩感知重构算法测试CS_Reconstuction_MtoPercentage.m
%   绘制参考文献中的Fig.1
%   参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert 
%   Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching
%   Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12,
%   DECEMBER 2007.
%   Elapsed time is 1171.606254 seconds.(@20150418night)
clear all;close all;clc;
%% 参数配置初始化
CNT = 1000;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数
N = 256;%信号x的长度
Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
K_set = [4,12,20,28,36];%信号x的稀疏度集合
Percentage = zeros(length(K_set),N);%存储恢复成功概率
%% 主循环，遍历每组(K,M,N)
tic
for kk = 1:length(K_set)
    K = K_set(kk);%本次稀疏度
    M_set = K:5:N;%M没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了
    PercentageK = zeros(1,length(M_set));%存储此稀疏度K下不同M的恢复成功概率
    for mm = 1:length(M_set)
       M = M_set(mm);%本次观测值个数
       P = 0;
       for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次
            Index_K = randperm(N);
            x = zeros(N,1);
            x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的                
            Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵
            A = Phi * Psi;%传感矩阵
            y = Phi * x;%得到观测向量y
            theta = CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta
            x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
            if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
                P = P + 1;
            end
       end
       PercentageK(mm) = P/CNT*100;%计算恢复概率
    end
    Percentage(kk,1:length(M_set)) = PercentageK;
end
toc
save MtoPercentage1000 %运行一次不容易，把变量全部存储下来
%% 绘图
S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];
figure;
for kk = 1:length(K_set)
    K = K_set(kk);
    M_set = K:5:N;
    L_Mset = length(M_set);
    plot(M_set,Percentage(kk,1:L_Mset),S(kk,:));%绘出x的恢复信号
    hold on;
end
hold off;
xlim([0 256]);
legend('K=4','K=12','K=20','K=28','K=36');
xlabel('Number of measurements(M)');
ylabel('Percentage recovered');
title('Percentage of input signals recovered correctly(N=256)(Gaussian)');

        本程序在联想ThinkPadE430C笔记本（4GB DDR3内存，i5-3210）上运行共耗时1171.606254秒，程序中将所有数据均通过“save MtoPercentage1000”存储了下来，以后可以再对数据进行分析，只需“load MtoPercentage1000”即可。

        程序运行结果比文献[1]的Fig.1要好，原因不详。

本程序运行结果：

文献[1]中的Fig.1：

5、信号稀疏度K与重构成功概率关系曲线绘制例程代码

%压缩感知重构算法测试CS_Reconstuction_KtoPercentage.m
%   绘制参考文献中的Fig.2
%   参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert 
%   Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching
%   Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12,
%   DECEMBER 2007.
%   Elapsed time is 1448.966882 seconds.(@20150418night)
clear all;close all;clc;
%% 参数配置初始化
CNT = 1000;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数
N = 256;%信号x的长度
Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta
M_set = [52,100,148,196,244];%测量值集合
Percentage = zeros(length(M_set),N);%存储恢复成功概率
%% 主循环，遍历每组(K,M,N)
tic
for mm = 1:length(M_set)
    M = M_set(mm);%本次测量值个数
    K_set = 1:5:ceil(M/2);%信号x的稀疏度K没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了
    PercentageM = zeros(1,length(K_set));%存储此测量值M下不同K的恢复成功概率
    for kk = 1:length(K_set)
       K = K_set(kk);%本次信号x的稀疏度K
       P = 0;
       for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次
            Index_K = randperm(N);
            x = zeros(N,1);
            x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的                
            Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵
            A = Phi * Psi;%传感矩阵
            y = Phi * x;%得到观测向量y
            theta = CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta
            x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta
            if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功
                P = P + 1;
            end
       end
       PercentageM(kk) = P/CNT*100;%计算恢复概率
    end
    Percentage(mm,1:length(K_set)) = PercentageM;
end
toc
save KtoPercentage1000test %运行一次不容易，把变量全部存储下来
%% 绘图
S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];
figure;
for mm = 1:length(M_set)
    M = M_set(mm);
    K_set = 1:5:ceil(M/2);
    L_Kset = length(K_set);
    plot(K_set,Percentage(mm,1:L_Kset),S(mm,:));%绘出x的恢复信号
    hold on;
end
hold off;
xlim([0 125]);
legend('M=52','M=100','M=148','M=196','M=244');
xlabel('Sparsity level(K)');
ylabel('Percentage recovered');
title('Percentage of input signals recovered correctly(N=256)(Gaussian)');

        本程序在联想ThinkPadE430C笔记本（4GB DDR3内存，i5-3210）上运行共耗时1448.966882秒，程序中将所有数据均通过“save KtoPercentage1000”存储了下来，以后可以再对数据进行分析，只需“load KtoPercentage1000”即可。

        程序运行结果比文献[1]的Fig.2要好，原因不详。

本程序运行结果：

文献[1]中的Fig.2：

6、参考文献

【1】Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert. Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching Pursuit[J]. IEEETransactions on Information Theory, VOL. 53, NO. 12, DECEMBER 2007.

【2】Y.C.Pati, R.Rezaiifar,and P.S.Krishnaprasad. Orthogonal Matching Pursuit-Recursive FunctionApproximation with Applications to wavelet decomposition, Proc. 27^thAnnu. Asilomar Conf. Signals, Systems, and Computers, Pacific Grove, CA, Nov.1993,vol.1,pp40-44.

【3】沙威.CS_OMP，http://www.eee.hku.hk/~wsha/Freecode/Files/CS_OMP.zip