【机器学习技术系列】FM系列算法详解(FM、FFM、DeepFM)

综述

1. CTR（click-through-rate）即点击通过率
2. FM算法（Factorization Machines）即因子分解机，是CTR的重要模型之一，自2010年被提出后，得到了大规模的应该，也是美团和头条做推荐和CTR预估的方法之一。
3. FFM算法（Field-aware Factorization Machine）即域分解机模型，是FM算法的升级版。
4. DeepFM ()

FM算法

对因子分解机的理解需要对逻辑回归LR（logistic Rgeression） 和矩阵分解MF(Matrix Factorization)

1. 逻辑回归

下图显示了，在传统的推荐系统中，逻辑回归衍生出来经典的模型和算法，常见的因子分解机FM 以及升级版的FFM模型。Facebook提出的GBDT+LR组合的模型。阿里巴巴曾经主流的LS-PLM（MLR）。

机器学习算法中的监督学习分为两类：分类和回归。分类就是判断目标变量的所属类别，目标变量是离散值。而回归则是预测，目标变量是连续型的数值。

逻辑回归是在数据服从伯努利分布的假设下，通过极大似然的方法，运用梯度下降法来求解参数，从而达到将数据二分类的目的。

逻辑回归是分类的问题，其中回归体现在：通过模型预测得到结果在0-1之间的连续数值，代表可能性而不是概率。通过"可能性" 排序推荐给用户，或者给可能性设立一个阈值，判断用户 点击 或者 不点击，喜欢 或者 不喜欢。所以逻辑回归将 推荐问题转化成了CTR的问题。
逻辑回归是一种广义的线性回归分析模型，属于机器学习中的监督学习。推导过程与计算方法类似于回归的过程，实际上主要来解决二分类问题（也可以解决多分类问题）。通过给定n组数据（训练集）来训练模型，并在训练结束后对给定的一组或者多组数据进行分类。

2. 逻辑回归原理

1. 线性回归（Liner Regression）与逻辑回归（Logistic Regression）

线性回归，比如一元二次方程可以表示身高和体重的线性关系。身高和体重数据是连续的可以表示成一元二次方程。

如果我们的目标数据不是连续的，比如广告投入金额和用户是否购买的关系。购买则为1，不购买则为0，因此数据是离散的点。 这时候就不能用一元二次方程这种确定的线性关系拟合。

这个时候可以加一个限制，z(x) > 0.5 输出1 z(x) < 0.5 输出 0 。 这就相当于线性回归的基础上，套用了一个函数，使他能够具有分类的效果。这种函数是不连续的阶跃函数。

但是工程上求最大值需要函数式连续可导的，这样才可以无限接近于最优解。因此我们用Sigmoid函数来替代阶跃函数

函数公式如下：

其中y的值在 0-1之间，从拟合图中可以看出 横轴z 接近0的时候 y变的敏感（值变换快），z 远离0时，变得不敏感。

那么函数 y 和sigmoid 函数，就构成了我们的逻辑回归模型。这也就解释了为什么逻辑回归不叫逻辑分类而叫逻辑回归，同时他又是一个分类函数。逻辑回归的本质就是用线性回归带入simoid函数，得到的值位于0-1之间，代表着“可能性”，也就是用回归的思想解决了分类的问题。

一元线性回归方程可以用 y = βx +b 表示，而推广到多元函数，则可以写成矩阵的形式 Y = Xβ ，β 也是向量形式，表示各个特征相应的权重。
因此，令预测为正样本的概率 P(Y=1)， 逻辑回归的数学形式为：

那么，有了逻辑回归的数学形式，我们就需要优化参数 β，β也就是特征向量相应的权重向量。

2. 极大似然估计

极大似然估计是数理统计中参数估计的一种重要方法，其思想就是一个事件发生了，那么发生这个事件的概率就是最大的。

概率：给定模型参数β后，估计时间X发生的可能性

似然：给定样本变量X后，估计能够使事件发生的参数β的值

最大似然估计：给定样本变量X，参数未知那么我们需要去推断其参数β，使得这件事发生概率P得到最大化。

举例子：
概率：我们已知硬币正反两面是公平的，因此参数 β为0.5。 那么我们抛1次硬币，得到“数字”朝上的概率 P 就为50%，我们抛10次，出现5次“数字”朝上的概率 P 就为：从10取5 的组合数概率，然后乘以0.5的10次方

似然：我们不知道硬币的参数β，即不知道硬币是否是正反质量一样（抛掷偏心硬币的问题），需要实验观察来估算硬币的参数。

极大似然：通过观察，假设硬币的参数β，然后计算实验结果的概率P,概率越大，越是我们想要的参数。

3. 逻辑回归模型推导

逻辑回归假设数据服从伯努利分布，通过极大似然函数的方法，运用梯度下降来求解参数，来达到数据二分类的目的。

4. 损失函数 （Loss Function）

损失函数就是用来衡量模型的输出与真实输出的差别。每一个样本经过模型后都会得到一个预测值，然后得到的预测值和真实值的差值就成为了损失（损失值越小，证明模型越是成功）

1. 损失函数使用的位置

在机器学习中，我们知道输入的feature（或称为x）需要通过模型（model）预测出y，此过程称为向前传播（forward pass），而要将预测与真实值的差值减小需要更新模型中的参数，这个过程称为向后传播（backward pass），其中我们损失函数（lossfunction）就基于这两种传播之间，起到一种有点像承上启下的作用，承上指：接収模型的预测值，启下指：计算预测值和真实值的差值，为下面反向传播提供输入数据。

2. 常用的损失函数

a. L1Loss函数
b. MSELoss函数
c. CrossEntropyLoss函数（交叉熵函数）

5. 梯度下降求解

梯度下降（Gradient Descent GD）简单来说就是一种寻找目标函数最小化的方法，它利用梯度信息，通过不断迭代调整参数来寻找合适的目标值。

什么是梯度 ？
梯度的引入可以分为四个概念： 导数 -> 偏导数 -> 方向导数 -> 梯度。

1. 导数：当函数定义域和取值都在实数域中的时候，导数可以表示函数曲线上的切线斜率
2. 偏导数：偏导数其实就是多元函数，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定，因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。
3. 方向导数：某个方向的导数，本质就是函数在A点上无数个切线的斜率的定义，每个切线都代表一个方向，每个方向都是有方向导数的。
4. 梯度：梯度是一个矢量，在其方向上的方向导数最大，也就是函数在该点处沿着梯度方向变化最快，变化率最大。

什么是梯度 下降？
举个常见的例子：你站在山上某处，想要尽快下山，于是决定走一步算一步，也就是每走到一个位置时，求解当前位置的梯度，沿着梯度的负方向，也就是当前最陡峭的位置向下走，这样一直走下去，很可能走不到山脚，而是某个局部的山峰最低处。如下图所示：

以上，我们可以总结一下：梯度下降法就是沿着梯度下降的方向求解极小值，沿着梯度上升的方向可以求得最大值，这种方法叫梯度上升。

从上图可以看到：受到起始点和目标函数特性的影响，梯度下降不一定找到的是全局最优解，可能只是局部最优解，那么什么时候能找到全局最优解呢？这个与损失函数有关，当损失函数是凸函数的话，可以找到全局最优。

5. 总结

逻辑回归的优势：

1. 可解释性强。
2. 形式简单，训练速度快。

逻辑回归的缺点：

1. 表达能力有限
2. 只在处理二分类问题上优势明显

6. QA

Q1: 为啥FM的输入X 必须要拉直为一维向量

FM的 base model是LR模型，没办法处理二维矩阵

Q2: 如何理解FM的输入特征X？n代表什么，x代表什么？

FM论文中公式只展示了一个样本的训练细节及数学公式。所以n表示的不是样本数目，而是一个样本的输入特征向量X的长度。
比如 x = 100,01 这是一个样本的全部特征展平后(丢失了每个特征自身的结构性)的特征向量。
而实际上只要模型可以处理，输入到模型的特征形状可以任意：n-dim feature vector(处理方便， 而且LR/FC/RNN只能接受 向量输入)，或者是mxn的Feature Martrix (保留结构信息，CNN可以处理)。

Q3: 如何理解特征交叉？为什么需要它？具体的实现方式举例？

显式的特征交叉包括 人工计算两个单特征的统计特征作为新的单特征：共现、互斥；隐式的特征交叉是将特征输入到网络中，让模型自动学习对优化目标有益的特征组合。组合特征能补充单个特征无法建模的某种模式。

以显示的特征组合来举例说，输入单特征集合={年龄，性别，……} 待预测对象为对每个商品的CTR。最简单的特征交叉：将年龄和性别 组合成一个新特征，它某种程度上刻画了 购买力 + 消费喜好 这种模式。这样的好处显而易见，「年龄=18~30 + 性别为女」在统计意义上偏好购买性价比高的化妆品，「年龄=40~50 + 性别为男」在统计意义上偏好购买偏昂贵的手表古玩等。

3 FM算法

FM（Factorization Machine）是由Konstanz大学Steffen Rendle 于 2010年最早提出的，旨在解决稀疏数据下的特征组合问题

示例引入FM模型

“Clicked?“是label，Country、Day、Ad_type是特征。由于三种特征都是categorical类型的，需要经过独热编码（One-Hot Encoding）转换成数值型特征。

由上表可以看出，经过One-Hot编码之后，大部分样本数据特征是比较稀疏的。上面的样例中，每个样本有7维特征，但平均仅有3维特征具有非零值。实际上，这种情况并不是此例独有的，在真实应用场景中这种情况普遍存在。
例如，CTR/CVR预测时，用户的性别、职业、教育水平、品类偏好，商品的品类等，经过One-Hot编码转换后都会导致样本数据的稀疏性。特别是商品品类这种类型的特征，如商品的末级品类约有550个，采用One-Hot编码生成550个数值特征，但每个样本的这550个特征，有且仅有一个是有效的（非零）。由此可见，数据稀疏性是实际问题中不可避免的挑战。
One-Hot编码的另一个特点就是导致特征空间大。例如，商品品类有550维特征，一个categorical特征转换为550维数值特征，特征空间剧增。
同时通过观察大量的样本数据可以发现，某些特征经过关联之后，与label之间的相关性就会提高。例如，“USA”与“Thanksgiving”、“China”与“Chinese New Year”这样的关联特征，对用户的点击有着正向的影响。换句话说，来自“China”的用户很可能会在“Chinese New Year”有大量的浏览、购买行为，而在“Thanksgiving”却不会有特别的消费行为。这种关联特征与label的正向相关性在实际问题中是普遍存在的，如“化妆品”类商品与“女”性，“球类运动配件”的商品与“男”性，“电影票”的商品与“电影”品类偏好等。因此，引入两个特征的组合是非常有意义的。

多项式模型是包含特征组合的最直观的模型。在多项式模型中，特征 xi和 xj的组合采用 xixj表示，即 xi和 xj都非零时，组合特征 xixj才有意义。从对比的角度，本文只讨论二阶多项式模型。模型的表达式如下
（1）
其中，n代表样本的特征数量，xi是第 i个特征的值，w0、wi、wij是模型参数。
从公式(1)可以看出，组合特征的参数一共有 n(n−1)/2个，任意两个参数都是独立的。然而，在数据稀疏性普遍存在的实际应用场景中，二次项参数的训练是很困难的。其原因是，每个参数 wij 的训练需要大量 xi 和 xj 都非零的样本；由于样本数据本来就比较稀疏，满足“xi 和 xj 都非零”的样本将会非常少。训练样本的不足，很容易导致参数 wij 不准确，最终将严重影响模型的性能。
那么，如何解决二次项参数的训练问题呢？矩阵分解提供了一种解决思路。在model-based的协同过滤中，一个rating矩阵可以分解为user矩阵和item矩阵，每个user和item都可以采用一个隐向量表示。比如在下图中的例子中，我们把每个user表示成一个二维向量，同时把每个item表示成一个二维向量，两个向量的点积就是矩阵中user对item的打分。

类似地，所有二次项参数 wij 可以组成一个对称阵 W（为了方便说明FM的由来，对角元素可以设置为正实数），那么这个矩阵就可以分解为 W=VTV，V 的第 j 列便是第 j 维特征的隐向量。换句话说，每个参数 wij=⟨vi,vj⟩，这就是FM模型的核心思想。因此，FM的模型方程为（本文不讨论FM的高阶形式） （2）
其中，vi是第 i 维特征的隐向量，⟨⋅,⋅⟩ 代表向量点积。隐向量的长度为 k（k<<n），包含 k 个描述特征的因子。根据公式(2)
，二次项的参数数量减少为 kn个，远少于多项式模型的参数数量。另外，参数因子化使得 xhxi 的参数和 xixj 的参数不再是相互独立的，因此我们可以在样本稀疏的情况下相对合理地估计FM的二次项参数。具体来说，xhxi 和 xixj 的系数分别为 ⟨vh,vi⟩ 和 ⟨vi,vj⟩
，它们之间有共同项 vi。也就是说，所有包含“xi 的非零组合特征”（存在某个 j≠i，使得 xixj≠0）的样本都可以用来学习隐向量 vi
，这很大程度上避免了数据稀疏性造成的影响。而在多项式模型中，whi 和 wij 是相互独立的。

显而易见，公式(2)是一个通用的拟合方程，可以采用不同的损失函数用于解决回归、二元分类等问题，比如可以采用MSE（Mean Square Error）损失函数来求解回归问题，也可以采用Hinge/Cross-Entropy损失来求解分类问题。当然，在进行二元分类时，FM的输出需要经过sigmoid变换，这与Logistic回归是一样的。直观上看，FM的复杂度是 O(kn²)。但是，通过公式(3)的等式，FM的二次项可以化简，其复杂度可以优化到 O(kn)。由此可见，FM可以在线性时间对新样本作出预测。

我们再来看一下FM的训练复杂度，利用SGD（Stochastic Gradient Descent）训练模型。模型各个参数的梯度如下

其中，vj,f 是隐向量 vj 的第 f 个元素。由于 ∑nj=1vj,fxj 只与 f 有关，而与 i 无关，在每次迭代过程中，只需计算一次所有 f 的 ∑nj=1vj,fxj，就能够方便地得到所有 vi,f 的梯度。显然，计算所有 f 的 ∑nj=1vj,fxj 的复杂度是 O(kn)；已知 ∑nj=1vj,fxj 时，计算每个参数梯度的复杂度是 O(1)；得到梯度后，更新每个参数的复杂度是 O(1)；模型参数一共有 nk+n+1 个。因此，FM参数训练的复杂度也是 O(kn)。综上可知，FM可以在线性时间训练和预测，是一种非常高效的模型。

FFM算法

FFM算法是基于FM算法，引入了域（field）的概念，使特征的交叉组合更加符合真实场景，更有效提升模型的表达能力。一个特征在跟不同特征交互时，会发挥不同的作用，因此应该具有不同的向量表示。
FFM（Field-aware Factorization Machine）最初的概念来自Yu-Chin Juan（阮毓钦，毕业于中国台湾大学，现在美国Criteo工作）与其比赛队员，是他们借鉴了来自Michael Jahrer的论文[14]中的field概念提出了FM的升级版模型。通过引入field的概念，FFM把相同性质的特征归于同一个field。以上面的广告分类为例，“Day=26/11/15”、“Day=1/7/14”、“Day=19/2/15”这三个特征都是代表日期的，可以放到同一个field中。同理，商品的末级品类编码生成了550个特征，这550个特征都是说明商品所属的品类，因此它们也可以放到同一个field中。简单来说，同一个categorical特征经过One-Hot编码生成的数值特征都可以放到同一个field，包括用户性别、职业、品类偏好等。在FFM中，每一维特征 xi，针对其它特征的每一种field fj，都会学习一个隐向量 vi,fj。因此，隐向量不仅与特征相关，也与field相关。也就是说，“Day=26/11/15”这个特征与“Country”特征和“Ad_type”特征进行关联的时候使用不同的隐向量，这与“Country”和“Ad_type”的内在差异相符，也是FFM中“field-aware”的由来。

假设样本的 n 个特征属于 f 个field，那么FFM的二次项有 nf个隐向量。而在FM模型中，每一维特征的隐向量只有一个。FM可以看作FFM的特例，是把所有特征都归属到一个field时的FFM模型。根据FFM的field敏感特性，可以导出其模型方程。

（4）
其中，fj 是第 j 个特征所属的field。如果隐向量的长度为 k，那么FFM的二次参数有 nfk 个，远多于FM模型的 nk 个。此外，由于隐向量与field相关，FFM二次项并不能够化简，其预测复杂度是 O(kn2)。下面以一个例子简单说明FFM的特征组合方式。输入记录如下

这条记录可以编码成5个特征，其中“Genre=Comedy”和“Genre=Drama”属于同一个field，“Price”是数值型，不用One-Hot编码转换。为了方便说明FFM的样本格式，我们将所有的特征和对应的field映射成整数编号。

那么，FFM的组合特征有10项，如下图所示。

其中，红色是field编号，蓝色是特征编号，绿色是此样本的特征取值。二次项的系数是通过与特征field相关的隐向量点积得到的，二次项共有 n(n−1)/2个。Yu-Chin Juan实现了一个C++版的FFM模型，源码可从Github下载。这个版本的FFM省略了常数项和一次项，模型方程如下。

其中，C2 是非零特征的二元组合，j1 是特征，属于field f1，wj1,f2 是特征 j1 对field f2 的隐向量。此FFM模型采用logistic loss作为损失函数，和L2惩罚项，因此只能用于二元分类问题。

其中，yi∈{−1,1} 是第 i 个样本的label，L 是训练样本数量，λ 是惩罚项系数。模型采用SGD优化，优化流程如下。

参考 Algorithm1, 下面简单解释一下FFM的SGD优化过程。 算法的输入 tr、va、pa分别是训练样本集、验证样本集和训练参数设置。

1. 根据样本特征数量（tr.n）、field的个数（tr.m）和训练参数（pa），生成初始化模型，即随机生成模型的参数；
2. 如果归一化参数 pa.norm
   为真，计算训练和验证样本的归一化系数，样本 i的归一化系数为
   
3. 对每一轮迭代，如果随机更新参数 pa.rand为真，随机打乱训练样本的顺序；
4. 对每一个训练样本，执行如下操作
   • 计算每一个样本的FFM项，即公式(5)中的输出 ϕ；
   • 计算每一个样本的训练误差，如算法所示，这里采用的是交叉熵损失函数 log(1+eϕ)；
   • 利用单个样本的损失函数计算梯度 gΦ，再根据梯度更新模型参数；
5. 对每一个验证样本，计算样本的FFM输出，计算验证误差；
6. 重复步骤3~5，直到迭代结束或验证误差达到最小。
   在SGD寻优时，代码采用了一些小技巧，对于提升计算效率是非常有效的。

第一，梯度分步计算。采用SGD训练FFM模型时，只采用单个样本的损失函数来计算模型参数的梯度。

第二，自适应学习率。此版本的FFM实现没有采用常用的指数递减的学习率更新策略，而是利用 nfk 个浮点数的临时空间，自适应地更新学习率。

第三，OpenMP多核并行计算。OpenMP是用于共享内存并行系统的多处理器程序设计的编译方案，便于移植和多核扩展[12]。FFM的源码采用了OpenMP的API，对参数训练过程SGD进行了多线程扩展，支持多线程编译。因此，OpenMP技术极大地提高了FFM的训练效率和多核CPU的利用率。在训练模型时，输入的训练参数ns_threads指定了线程数量，一般设定为CPU的核心数，便于完全利用CPU资源。

第四，SSE3指令并行编程。SSE3全称为数据流单指令多数据扩展指令集3，是CPU对数据层并行的关键指令，主要用于多媒体和游戏的应用程序中[13]。SSE3指令采用128位的寄存器，同时操作4个单精度浮点数或整数。SSE3指令的功能非常类似于向量运算。例如，a 和 b 采用SSE3指令相加（a 和 b 分别包含4个数据），其功能是 a 中的4个元素与 b 中4个元素对应相加，得到4个相加后的值。采用SSE3指令后，向量运算的速度更加快捷，这对包含大量向量运算的FFM模型是非常有利的。

FFM模型训练注意事项

在训练FFM的过程中，有许多小细节值得特别关注。

第一，样本归一化。FFM默认是进行样本数据的归一化，即 pa.norm 为真；若此参数设置为假，很容易造成数据inf溢出，进而引起梯度计算的nan错误。因此，样本层面的数据是推荐进行归一化的。

第二，特征归一化。CTR/CVR模型采用了多种类型的源特征，包括数值型和categorical类型等。但是，categorical类编码后的特征取值只有0或1，较大的数值型特征会造成样本归一化后categorical类生成特征的值非常小，没有区分性。例如，一条用户-商品记录，用户为“男”性，商品的销量是5000个（假设其它特征的值为零），那么归一化后特征“sex=male”（性别为男）的值略小于0.0002，而“volume”（销量）的值近似为1。特征“sex=male”在这个样本中的作用几乎可以忽略不计，这是相当不合理的。因此，将源数值型特征的值归一化到 [0,1] 是非常必要的。

第三，省略零值特征。从FFM模型的表达式(4)可以看出，零值特征对模型完全没有贡献。包含零值特征的一次项和组合项均为零，对于训练模型参数或者目标值预估是没有作用的。因此，可以省去零值特征，提高FFM模型训练和预测的速度，这也是稀疏样本采用FFM的显著优势。

引用文章：
[1] 深入FFM原理与实践
[2] FM论文
[3] 传统CTR预估模型