[C++][数据结构][AVL树]详细讲解

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1.AVL树的概念

• 二叉搜索树中，如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下，如何解决？

  • 当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度

• AVL树具有以下性质：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
    • 规定：平衡因子 = 右子树的高度 - 左子树的高度
      

• 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树

  • 如果它有n个结点，其高度可保持在O(logN)，搜索时间复杂度O(logN)

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2.AVL树节点的定义

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
    AVLTreeNode<K, V>* _left;
    AVLTreeNode<K, V>* _right;
    AVLTreeNode<K, V>* _parent;
    
    pair<K, V> _kv;
    int _bf;  // balance factor

    AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
        :_left(nullptr)
        , _right(nullptr)
        , _parent(nullptr)
        , _kv(kv)
        , _bf(0)
    {}
};
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3. AVL树的插入

• AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，那么AVL树的插入过程可以分为两步：
  • 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  • 调整节点的平衡因子
• 更新平衡因子的规则
  • 新增在右，parent->_bf++; 新增在左，parent->_bf–;
  • 更新后，parent->_bf == 1/-1
    • 说明parent插入前的平衡因子是0，左右子树高度相等
    • 插入后有一边高，parent高度变了，需要继续往上更新
  • 更新后，parent->_bf == 0
    • 说明parent插入前的平衡因子是1/-1，说明左右子树一边高一边低
    • 插入后两边一样高，插入填上了矮的那边，parent所在子树高度不变，不需要继续网上更新
  • 更新后，parent->_bf == 2/-2
    • 说明parent插入前的平衡因子是1/-1，已经达到平衡临界值
    • 插入变成2/-2，打破平衡，parent所在的子树需要旋转处理
  • 更新后，abs(parent->_bf) > 2，不可能
    • 如果存在，则说明插入前就不是AVL树，需要去检查之前操作的问题

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
    if (_root == nullptr)
    {
        _root = new Node(kv);
        return true;
    }

    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_kv.first < kv.first)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else if (cur->_kv.first > kv.first)
        {
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else
        {
            return false;
        }
    }

    cur = new Node(kv);
    if (parent->_kv.first < kv.first)
    {
        parent->_right = cur;
    }
    else
    {
        parent->_left = cur;
    }

    cur->_parent = parent;

    // 控制平衡
    // 1.更新平衡因子
    while (parent)
    {
        if (cur == parent->_left)
        {
            parent->_bf--;
        }
        else
        {
            parent->_bf++;
        }

        if (parent->_bf == 0)
        {
            break;
        }
        else if (abs(parent->_bf) == 1)
        {
            parent = parent->_parent; // 继续向上更新
            cur = cur->_parent;
        }
        else if(abs(parent->_bf) == 2)
        {
            // parent所在子树已经失衡，旋转调整
            if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
            {
                RotateL(parent);
            }
            else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
            {
                RotateR(parent);
            }
            else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
            {
                RotateLR(parent);
            }
            else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
            {
                RotateRL(parent);
            }
            else
            {
                assert(false); // 理论不会走到这
            }

            break;
        }
        else
        {
            assert(false); // 理论不会走到这
        }
    }

    return true;
}
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4.AVL树的旋转

• 如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化
• 根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种

1.新节点插入较高左子树的左侧 – 左左：右单旋

void RotateR(Node* parent)
{
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = subL->_right;

    parent->_left = subLR;
    if (subLR)
    {
        subLR->_parent = parent;
    }

    Node* grandParent = parent->_parent;

    subL->_right = parent;
    parent->_parent = subL;

    if (_root == parent)
    {
        _root = subL;
        subL->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
        if (grandParent->_left == parent)
        {
            grandParent->_left = subL;
        }
        else
        {
            grandParent->_right = subL;
        }

        subL->_parent = grandParent;
    }

    subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
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2.新节点插入较高右子树的右侧 – 右右：左单旋

void RotateL(Node* parent)
{
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = subR->_left;

    parent->_right = subRL;
    if (subRL) // 防止subRL本来就为空，对空指针访问
    {
        subRL->_parent = parent;
    }

    // 用于判断原来的parent是否是子树
    Node* grandParent = parent->_parent;

    subR->_left = parent;
    parent->_parent = subR;

    if (_root == parent)
    {
        _root = subR;
        subR->_parent = nullptr;
    }
    else
    {
        if (grandParent->_left == parent)
        {
            grandParent->_left = subR;
        }
        else
        {
            grandParent->_right = subR;
        }

        subR->_parent = grandParent;
    }

    subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
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3.新节点插入较高左子树的右侧 – 左右：先左单旋再右单旋

• 将双旋变成单旋后再旋转
  • 即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新

void RotateLR(Node* parent)
{
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = subL->_right;
    int bf = subLR->_bf;

    RotateL(parent->_left);
    RotateR(parent);

    subLR->_bf = 0;
    if (bf == 1)
    {
        parent->_bf = 0;
        subL->_bf = -1;
    }
    else if (bf == -1)
    {
        parent->_bf = 1;
        subL->_bf = 0;
    }
    else if (bf == 0) // 原来的树/子树只有这三个节点
    {
        parent->_bf = 0;
        subL->_bf = 0;
    }
    else
    {
        assert(false); // 理论不会走到这
    }
}
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4.新节点插入较高右子树的左侧 – 右左：先右单旋再左单旋

void RotateRL(Node* parent)
{
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = subR->_left;
    int bf = subRL->_bf;

    RotateR(parent->_right);
    RotateL(parent);

    subRL->_bf = 0;
    if (bf == 1)
    {
        parent->_bf = -1;
        subR->_bf = 0;
    }
    else if (bf == -1)
    {
        parent->_bf = 0;
        subR->_bf = 1;
    }
    else if (bf == 0)
    {
        parent->_bf = subR->_bf = 0;
    }
    else
    {
        assert(false); // 理论不会走到这
    }
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5.AVL树的验证

• AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
  • 验证其为二叉搜索树
    • 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
  • 验证其为平衡树
    • 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
    • 节点的平衡因子是否计算正确

void InOrder()
{
    _InOrder(_root);
    cout << endl;
}

bool IsBalance()
{
    return _IsBalance(_root);
}

void _InOrder(Node* root)
{
    if (root == nullptr)
    {
        return;
    }

    _InOrder(root->_left);
    cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
    _InOrder(root->_right);
}

bool _IsBalance(Node* root)
{
    if (root == nullptr)
    {
        return true;
    }

    int leftHeight = Height(root->_left);
    int rightHeight = Height(root->_right);
    int diff = rightHeight - leftHeight;

    if (diff != root->_bf)
    {
        cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
        return false;
    }

    return abs(diff) < 2 
        && _IsBalance(root->_left) 
        && _IsBalance(root->_right);
}

int Height(Node* root)
{
    if (root == nullptr)
    {
        return 0;
    }

    return max(Height(root->_left), Height(root->_right)) + 1; //统计高度为后序
}
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6.AVL树的删除(了解)

• 因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子
• 只不过与删除不同的是，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置

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7.AVL树的性能

• AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即logN
• 但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下,比如：
  • 插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多
  • 更差的是在删除时， 有可能一直要让旋转持续到根的位置
• 因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合