堆排序的时间复杂度_堆排序的时间复杂度分析

阅读本文需先知晓堆的定义与堆排序的实现

堆排序的步骤分两步

• 首先把序列变成一个有序堆
• 再不断交换堆顶的最大元素和堆底元素，每次交换都像是选择排序般取走了剩余序列中的最大值

所以我们可以分两个步骤计算堆排序的时间复杂度

有序堆的构造：等价于对非叶子节点从下至上的下沉操作

• 假设堆高h为一整数，堆有n个节点，那么h = log₂ⁿ
• 该堆有2^h个叶子节点，由于叶子节点是最底层，所以无需下沉
• 倒数第二层的节点有2^h-1个，该层节点下沉到叶子节点至多需要比较2次（兄弟节点的比较，父节点与较大的兄弟节点的比较），交换1次（如果父节点小于子节点则交换）
• 倒数第三层有2^h-2个非叶子节点，他们下沉到倒数第二层之后还要继续下沉到叶子节点（倒数第三层的节点可能比叶子节点还小，所以还要下沉到叶子节点），所以对倒数第二层的节点其下沉至多需要比较4次，交换2次。
• 以此类推，倒数第n层的下沉所需操作数 = 该层节点数 * 该层节点下沉所需的操作数 ，前者为2^h-n+1，后者为3(n-1)。
• 所以根节点作为倒数第h+1层，它的下沉所需操作数就为2^h-(h+1)+1 * 3 (h+1-1) = 2⁰ * 3h。
• 将各层的下沉所需操作数从上至下相加，就是构造整个有序堆的所需操作数：3 ( 2⁰h + 2¹(h-1) + 2²(h-2) +…2^h-1 )，设该式为a，则2a - a = 3 ( 2¹ + ２² +…2^h - h )，根据等比序列的求和公式，我们可以知道a = 3 ( 2^h+1 - 2 - h)，代入h，得a = 3(2n - 2 - log₂ⁿ) ≈ 6n。
• 综上，建有序堆的时间复杂度是O(n)。

不断交换堆顶元素和堆底元素

• 共进行n-1次交换，所需操作数为n-1
• 并且每次交换都会导致根节点不再是堆中的最大元素，所以需要对新的根节点进行下沉操作，所需操作数为3(n-1)h，即3(n-1)log₂ⁿ
• 综上，该过程所需操作数为n-1 + 3(n-1)log₂ⁿ = (n-1)(3log₂ⁿ + 1)，时间复杂度即为O(nlogⁿ)

将O(nlogⁿ)，O(n)两个时间复杂度相加，就是堆排序的时间复杂度O(nlogⁿ)