Floyd算法详解（附matlab代码）

什么是Floyd算法

Floyd算法又称为插点法，是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法，与Dijkstra算法类似。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。

Floyd算法可以给出网络中任意两个节点之间的最短路径，因此它是比Dijkstra更一般的算法。Floyd算法的思想是将n个节点的网络表示为n行n列的矩阵，而矩阵中的元素(i,j)表示从节点i到节点j的距离dij，如果两点直接没有边相连，则相应的元素就是无穷(∞).

算法的基本步骤

• 定义n×n的方阵序列D-1, D0 , … Dn－1,

• 初始化： D-1＝C

  • D-1[i][j]＝边<i,j>的长度，表示初始的从i到j的最短路径长度，即它是从i到j的中间不经过其他中间点的最短路径。

• 迭代：设Dk-1已求出，如何得到Dk（0≤k≤n-1）？

  • Dk-1[i][j]表示从i到j的中间点不大于k-1的最短路径p：i…j，
  • 考虑将顶点k加入路径p得到顶点序列q：i…k…j，
  • 若q不是路径，则当前的最短路径仍是上一步结果：Dk[i][j]= Dk－1[i][j]；
  • 否则若q的长度小于p的长度，则用q取代p作为从i到j的最短路径

• 因为q的两条子路径i…k和k…j皆是中间点不大于k－1的最短路径，所以从i到j中间点不大于k的最短路径长度为：
  Dk[i][j]＝min{ Dk-1[i][j], Dk-1[i][k] +Dk-1[k][j] }

实例讲解

 注：Floyd算法可以存在负权重

 matlab代码

function Floyd(w,router_direction,MAX)

%w为此图的距离矩阵

%router_direction为路由类型：0为前向路由；非0为回溯路由

%MAX是数据输入时的∞的实际值

len=length(w);

flag=zeros(1,len);

%根据路由类型初始化路由表

R=zeros(len,len);

for i=1:len

if router_direction==0%前向路由

R(:,i)=ones(len,1)*i;

else %回溯路由

R(i,:)=ones(len,1)*i;

end

R(i,i)=0;

end

disp('');

disp('w(0)');

dispit(w,0);

disp('R(0)');

dispit(R,1);

%处理端点有权的问题

for i=1:len

tmp=w(i,i)/2;

if tmp~=0

w(i,:)=w(i,:)+tmp;

w(:,i)=w(:,i)+tmp;

flag(i)=1;

w(i,i)=0;

end

end

%Floyd算法具体实现过程

for i=1:len

for j=1:len

if j==i || w(j,i)==MAX

continue;

end

for k=1:len

if k==i || w(j,i)==MAX

continue;

end

if w(j,i)+w(i,k)<w(j,k) %Floyd算法核心代码

w(j,k)=w(j,i)+w(i,k);

if router_direction==0%前向路由

R(j,k)=R(j,i);

else %回溯路由

R(j,k)=R(i,k);

end

end

end

end

%显示每次的计算结果

disp(['w(',num2str(i),')'])

dispit(w,0);

disp(['R(',num2str(i),')'])

dispit(R,1);

end

%中心和中点的确定

[Center,index]=min(max(w'));

disp(['中心是V',num2str(index)]);

[Middle,index]=min(sum(w'));

disp(['中点是V',num2str(index)]);

end

function dispit(x,flag)

%x：需要显示的矩阵

%flag：为0时表示显示w矩阵，非0时表示显示R矩阵

len=length(x);

s=[];

for j=1:len

if flag==0

s=[s sprintf('%5.2f\t',x(j,:))];

else

s=[s sprintf('%d\t',x(j,:))];

end

s=[s sprintf('\n')];

end

disp(s);

disp('---------------------------------------------------');

end