非线性表——图——基本概念/存储结构_有6个顶点(顶点编号为a～f)的无向带权图g,其邻接矩阵a为上三角矩阵,按列为主

9.1基本概念

图G是由两个集合V(G)和E(G)组成的，记为G=(V,E)。

其中： V(G)是顶点的有限集。 E(G)是边的有限集，边是顶点的无序对或有序对。

如果图G(V,E)和图G’(V’,E’),满足：    则称G’为G的子图。

有向图：

E(G)是有向边（也称弧）的有限集，弧是顶点的有序对。

记为<v,w>，v,w是顶点，v为弧尾，w为弧头。

无向图：

无向图G由两个集合V(G)和E(G)组成。

其中： V(G)是顶点的有限集。 E(G)是边的有限集，边是顶点的无序对。

记为（v,w）或（w,v)，并且（v,w)=(w,v)。

完全图——有n个顶点和n(n-1)/2条边的无向图

有向完全图——有n个顶点和n(n-1)条弧的有向图

稀疏图——具有很少边或弧的图（如少于nlogn）

稠密图——具有很多边或弧的图

权——与图的边或弧相关的数

网——带权的图

对于无向图G=(V,E)，若边(v, v’) ∈E，则称：v和 v’互为邻接点，边(v, v’)依附于顶点v和 v’，边(v, v’)和顶点v,v’相关联。

对于有向图G=(V,A)，若弧<v, v’> ∈A，则称：v邻接到 v’， v’邻接自 v，弧<v, v’>和顶点v,v’相关联。

路径长度—沿路径边的数目或沿路径各边权值之和

简单路径—序列中顶点不重复出现的路径

简单回路—除了第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路

连通—从顶点V到顶点W有路径，则称V和W是连通的。

连通图—任意两个顶点都是连通的无向图。

强连通图—有向图G中，如果对每一对任意两点，从Vi到Vj和从Vj到Vi都存在路径，则称G是强连通图。

连通分量—非连通图的每一个连通部分称连通分量。

强连通分量—有向图中的强连通子图

有向树—若一有向图恰有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一棵有向树。

有向图的生成森林—由若干棵有向树组成，

含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵互不相交的有向树的弧。

9.2存储结构

9.2.1邻接矩阵式

无向图的邻接矩阵对称，可压缩存储；

有n个顶点的无向图需存储空间为n(n+1)/2 。

有向图邻接矩阵不一定对称；

有n个顶点的有向图需存储空间为n²。

（1）无向图中顶点Vi的度TD(Vi)是邻接矩阵A中第i行元素之和 。

（2）有向图中顶点Vi的出度是A中第i行元素之和，顶点Vi的入度是A中第i列元素之和。

网络(带权的图)的邻接矩阵可定义为：

 

#define MAX_VERTEX_NUM   20
typedef enum{ DG,DN,AG,AN }GraphKind; 
  //有向图 有向网 无向图 无向网
 
//图的邻接矩阵
typedef struct ArcCell {
  VRType adj; //顶点关系类型，无权图用1或0表示相邻否; 带权图则为权值类型
  InfoType *info;  //边或弧相关信息指针
}AdjMatrix[ MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM ];
 
//图的表示
typedef struct {
  VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量
  AdjMatrix arcs;  //邻接矩阵
  int vexnum,arcnum; //图的当前顶点数和弧数
  GraphKind kind;  //图的种类标志
}MGraph;

 

例题：

已知有一个6个顶点（顶点编号0-5）的有向带权图G，其邻接矩阵A为上三角矩阵，它的压缩存储如下：

 （1）写出图G的邻接矩阵A； （2）画出有向带权图G；

 

 9.2.2.1邻接表式

为图中每个顶点建立一个单链表

（1）无向图中顶点Vi的度为第i个单链表中的结点数；

（2）有向图中 顶点Vi的出度为第i个单链表中的结点个数 顶点Vi的入度为所有单链表中邻接点域值是i的结点个数（必须遍历整个邻接表）。

缺点：判定vi,vj之间是否有边或弧，需搜索第i或j个链表，不及邻接矩阵方便。

第i个单链表中的结点表示依附于顶点Vi的边（有向图中指以Vi为尾的弧）

 n个顶点e条边，邻接表中有n个表头结点， 2e个边结点

n个顶点e条弧，邻接表中有n个头结点， e个弧结点

//边(弧)结点
typedef struct ArcNode {
  int adjvex;//邻接点域，存放与Vi邻接的点在表头数组中的位置
  struct ArcNode *nextarc;//链域，指示下一条边或弧
  InfoType  *info；//存储与边或弧相关的信息，如权值
}ArcNode ;

//顶点结点
typedef struct VNode{
  VertexType data; //存放顶点信息
  ArcNode *firstarc; //指示链表中第一个结点
}VNode, AdjList[ MAX_VERTEX_NUM ];

//图类型
typedef struct{
  AdjList vertices;//顶点表列(邻接表)
  int vexnum, arcnum;//图的当前顶点数和弧数
  int kind;//图的种类标志
}ALGraph;

9.2.2.2逆邻接表

为便于确定顶点的入度 ；

对每个结点建立以Vi为头的弧的单链表。

9.2.2.2十字链表

将有向图的邻接表，逆邻接表结合起来。

易找到以顶点Vi为尾的弧，以顶点Vi为头的弧 ；

易确定顶点的出度，入度。

 

//弧结点
typedef struct ArcBox {
  int tailvex, headvex;//弧尾、弧头在表头数组中位置
  struct ArcBox *hlink；//指向弧头相同的下一条弧
  struct ArcBox *tlink; //指向弧尾相同的下一条弧
  InfoType *info;  //指向与弧相关的信息
}ArcBox;

//顶点结点
typedef struct VexNode {
  VetexType data;  //存储与顶点有关信息
  ArcBox *firstin；//指向以该顶点为弧头的第一个弧
  ArcBox *firstout; //指向以该顶点为弧尾的第一个弧
}VexNode;

//图结构
typedef struct{    
  VexNode xlist[MAX_VERTEX_NUM];//顶点表列
  int vexnum,arcnum;//图的当前顶点数和弧数
}OLGraph;

9.2.3无向图的邻接表

邻接多重表与十字链表类似

 

//边结点
//每个边结点同时链接在两个链表上
typedef struct EBox{
  VisitIf mark;   //标志域
  int ivex,jvex; //边的两个顶点在表头数组中位置
  struct EBox *ilink,*jlink;  
    //分别指向依附于ivex和jvex的下一条边
  InfoType *info;   //指向与弧相关的信息
}EBox;

//顶点结点
//每一个顶点只对应一个顶点结点
//以顺序结构存储，以便随机访问某一顶点
typedef struct VexBox{ 
  VertexType data;  //存储与顶点有关的信息
  EBox *firstedge;//指向第一条依附于该顶点的边
}VexBox;

//图类型
typedef struct {
  VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM]; // 顶点表列
  int vexnum, arcnum; //无向图的当前顶点数和弧数
}AMLGraph;