【动态规划】路径问题_动态规划路径问题介绍

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1. 不同路径

1.1 题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

$\bullet$ 示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

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$\bullet$ 示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

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$\bullet$ 示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28

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$\bullet$ 示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6

提示：

$\bullet$ 1 <= m, n <= 100
$\bullet$ 题目数据保证答案小于等于 2 * 109

来源：力扣（LeetCode）
链接：题目来源

1.2 分析

$\bullet$ 我们生成一个与网格等大的数组dp，dp[i,j] 表示机器到到达 (i,j) 的不同路径数，最后返回 dp[m-1][n-1]。

$\bullet$ 对于第一行和第一列来说，每个网格只有一种方法可以到达，也就是一直向左或者一直向右，所以我们在初始化数组时直接给每个网格初始化为1。

$\bullet$ 接下来我们就可以从第二行第二列进行数组填充，对于每一个位置（i,j）来说，都可以由左边或者上边到达，那么路径总数也就是左边一格的路径总数加上边一格的路径总数。
$$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$$

1.3 代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        vector<vector<int>>dp(m,vector<int>(n,1));

        // for(int i=0;i<m;i++) dp[i][0]=1;
        // for(int i=0;i<n;i++) dp[0][i]=1;

        for(int i=1;i<m;i++)
        {
            for(int j=1;j<n;j++)
            {
                dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
};
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2. 不同路径II

2.1 题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

$\bullet$ 示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：

1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

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$\bullet$ 示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示：

$\bullet$ m == obstacleGrid.length
$\bullet$ n == obstacleGrid[i].length
$\bullet$ 1 <= m, n <= 100
$\bullet$ obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1

来源：力扣（LeetCode）
链接：题目来源

2.2 分析

$\bullet$ 同样我们使用与网格等大的数组dp来记录每个位置的路径总数，最后返回dp数组中最后一个元素。

$\bullet$ 我们首先对数组进行初始化，先将dp数组整体初始化为0。因为第一行和第一列只能向左或者向下到达，所以我们需要单独对其初始化。对于第一行和第一列我们按顺序从前往后进行搜索，如果该位置没有障碍物我们依此置1，当遇到第一个障碍物以后就直接跳出循环，因为后面的位置已经无法到达。

$\bullet$ 对于其他位置来说，如果没有障碍物，每个位置的路径总数都等于左边的路径总数加上边的路径总数，否则该位置的路径总数就为0，所以状态转移方程为：

d p [ i ] [ j ] = {  0  ( o b s t a c l e G r i d [ i ] [ j ] = 1 )  dp[i-1][j]+dp[i][j-1]  ( o b s t a c l e G r i d [ i ] [ j ] = 0 ) dp[i][j]=

$$\begin{cases} & \text{ 0 } (obstacleGrid[i][j]=1) \\ & \text{ dp[i-1][j]+dp[i][j-1] } (obstacleGrid[i][j]=0) \end{cases}$$ dp[i][j]={​ 0 (obstacleGrid[i][j]=1) dp[i-1][j]+dp[i][j-1] (obstacleGrid[i][j]=0)​

2.3代码

class Solution {
public:
    int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
        int m=obstacleGrid.size();
        int n=obstacleGrid[0].size();
        vector<vector<int>>dp(m,vector<int>(n,0));

        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            if(!obstacleGrid[i][0]) dp[i][0]=1;
            else break;
        }

        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(!obstacleGrid[0][j]) dp[0][j]=1;
            else break;
        }

        for(int i=1;i<m;i++)
        {
            for(int j=1;j<n;j++)
            {
                if(!obstacleGrid[i][j]) dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
            }
        }

        return dp[m-1][n-1];
    }
};
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3. 最小路径和

3.1 题目

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

$\bullet$ 示例 1：

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

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$\bullet$ 示例 2：
输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

提示：

$\bullet$ m == grid.length
$\bullet$ n == grid[i].length
$\bullet$ 1 <= m, n <= 200
$\bullet$ 0 <= grid[i][j] <= 100

来源：力扣（LeetCode）
链接：题目来源

3.2 分析

$\bullet$ 对于本题，因为每次操作都需要加每个位置的值，所以我们可以直接在原数组上操作来节省空间开支。

$\bullet$ 同样第一行和第一列是特例，每个位置的值都等于前边路径总和加该位置的值：

{  grid[i][0]+=grid[i-1][0]  ( i > = 1 )  grid[0][j]+=grid[0][j-1]  ( j > = 1 )

$$\begin{cases} & \text{ grid[i][0]+=grid[i-1][0] } (i>=1) \\ & \text{ grid[0][j]+=grid[0][j-1] } (j>=1) \end{cases}$$ {​ grid[i][0]+=grid[i-1][0] (i>=1) grid[0][j]+=grid[0][j-1] (j>=1)​

$\bullet$ 对于其他位置来说，只需要取左边和上边的较小值加上该位置的值即可：
$$grid[i][j]+=min(grid[i-1][j],grid[i][j-1])$$

3.3 代码

class Solution {
public:
    int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
        int m=grid.size();
        int n=grid[0].size();

        for(int i=1;i<m;i++)
        {
            grid[i][0]+=grid[i-1][0];
        }
        for(int j=1;j<n;j++)
        {
            grid[0][j]+=grid[0][j-1];
        }

        for(int i=1;i<m;i++)
        {
            for(int j=1;j<n;j++)
            {
                grid[i][j]+=min(grid[i-1][j],grid[i][j-1]);
            }
        }
        return grid[m-1][n-1];
    }
};
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4. 三角形最短路径和

4.1 题目

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

$\bullet$ 示例 1：
输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
    2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

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$\bullet$ 示例 2：
输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：

$\bullet$ 1 <= triangle.length <= 200
$\bullet$ triangle[0].length == 1
$\bullet$ triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
$\bullet$ -104 <= triangle[i][j] <= 104

来源：力扣（LeetCode）
链接：题目分析

4.2 分析

$\bullet$ 首先来看一下题，题中说明了 $triangle[i][j]$ 可以由 $triangle[i-1][j]$ 和 $triangle[i-1][j-1]$ 下移而来，而对于两边的位置，只能由上一个值下移而来。

$\bullet$ 所以我们对于两边需要特殊处理：
{  triangle[i][0]+=triangle[i-1][0];   triangle[i][i]+=triangle[i-1][i-1];

$$\begin{cases} & \text{ triangle[i][0]+=triangle[i-1][0]; } \\ & \text{ triangle[i][i]+=triangle[i-1][i-1];} \end{cases}$$ {​ triangle[i][0]+=triangle[i-1][0];  triangle[i][i]+=triangle[i-1][i-1];​

$\bullet$ 而对于剩下的位置，只需要去上边两个数的较小值与本身的值相加即可：
$$triangle[i][j]+=min(triangle[i-1][j-1],triangle[i-1][j]);$$

$\bullet$ 最后我们将最后一行中最小的数选出来返回即可。

4.3 代码

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int n=triangle.size();

        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            triangle[i][0]+=triangle[i-1][0];
            triangle[i][i]+=triangle[i-1][i-1];

            for(int j=1;j<i;j++)
            {
                triangle[i][j]+=min(triangle[i-1][j-1],triangle[i-1][j]);
            }
        }
        int res=INT_MAX;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            res=min(res,triangle[n-1][i]);
        }
        return res;
    }
};
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5. 下降路径最小和

5.1 题目

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

$\bullet$ 示例 1：
输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：下面是两条和最小的下降路径，用加粗标注：
[[2,1,3], [[2,1,3],
[6,5,4], [6,5,4],
[7,8,9]] [7,8,9]]

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$\bullet$ 示例 2：
输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：下面是一条和最小的下降路径，用加粗标注：
[[-19,57],
[-40,-5]]

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$\bullet$ 示例 3：
输入：matrix = [[-48]]
输出：-48

提示：

$\bullet$ n == matrix.length
$\bullet$ n == matrix[i].length
$\bullet$ 1 <= n <= 100
$\bullet$ -100 <= matrix[i][j] <= 100

来源：力扣（LeetCode）
链接：题目来源

5.2 分析

$\bullet$ 这道题与上一题十分相似，只不过是将三角形，改成了n×n的矩阵，$matrix[i][j]$ 可以由 $matrix[i-1][j-1]$、$mateix[i-1][j]$、$matrix[i-1][j+1]$ 下移而来，而对于两边的元素只有两个值可以下移。

$\bullet$ 同样对于两边需要特殊处理：
{  matrix[i][0]+=min(matrix[i-1][0],matrix[i-1][1]);   matrix[i][n-1]+=min(matrix[i-1][n-1],matrix[i-1][n-2]);

$$\begin{cases} & \text{ matrix[i][0]+=min(matrix[i-1][0],matrix[i-1][1]); } \\ & \text{ matrix[i][n-1]+=min(matrix[i-1][n-1],matrix[i-1][n-2]);} \end{cases}$$ {​ matrix[i][0]+=min(matrix[i-1][0],matrix[i-1][1]);  matrix[i][n-1]+=min(matrix[i-1][n-1],matrix[i-1][n-2]);​

$\bullet$ 对于剩下的元素来说：

$$matrix[i][j]+=min(matrix[i-1][j-1],min(matrix[i-1][j],matrix[i-1][j+1]));$$

$\bullet$ 最后只需要将最后一行中最小值取出返回即可。

5.3 代码

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n=matrix.size();

        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            matrix[i][0]+=min(matrix[i-1][0],matrix[i-1][1]);
            matrix[i][n-1]+=min(matrix[i-1][n-1],matrix[i-1][n-2]);

            for(int j=1;j<n-1;j++)
            {
                matrix[i][j]+=min(matrix[i-1][j-1],min(matrix[i-1][j],matrix[i-1][j+1]));
            }
        }
        
        int res=INT_MAX;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            res=min(res,matrix[n-1][i]);
        }
        return res;
    }
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