图像傅里叶变换的频率怎么理解_傅里叶空间空间频率幅值

请问图像的傅里叶变换里面，怎么理解高频和低频呢？是u,v大的值对应高频么？傅里叶变换以后得到的幅度谱为什么能反映灰度的变化情况呢？看了很多资料，一直缺乏直观上的理解啊，哪位大神能给讲一下？谢谢

烈日烤鱼

谷歌软件工程师；住过纽约，中部，西雅图，硅谷；

作者：烈日烤鱼

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图像不过是个二维数组,方便理解起见,咱们可以考虑一维数组.

下面的例子可能不严谨,但绝对很直观.

比如有如下数组

{1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10, 1, 10}

和

{1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1,}

你直观的理解下,哪个数组的"频率"大点?

你可以用纵坐标代表数组值,横坐标代表数组index描点看看,显然是第一个数组的频率高.

所以对于数组来说,数字之间变化剧烈,代表高频,柔和代表低频.

同理,对于图像来说,那就是灰度变化快的是高频,慢的是低频.比如一个物体的边缘,就是高频信号,物体内部,就是低频.

而傅立叶变换无非是告诉你这副图像上XXX频率的信号有多少多少, YYY的频率有多少多少.

那换句话说就是,图像的傅立叶变换可以让你直观的看到这幅图总体上"剧烈"的变化有多少,"柔和"的变化有多少.

一副整体很模糊的图,傅立叶变换后显示的低频分量就很多

一副整体灰度变化很剧烈的图,傅立叶变换后显示的高频分量就很多

同理,如果你在频域上将高频分量去掉,再反变换回去,那图片就会变的模糊.

将评论区的二维情况的解释也搬上来吧：

一维的频谱横坐标就是频率，f（x）= y的意思就是图像上的x频率有y这么多。二维没有所谓横坐标概念，他是u和v两个坐标轴。f（u，v）= y的意思就是（u，v）这个频率的大小为y。那（u，v）又是个啥频率呢？你可以想象下，一个二维的丘陵地区，你沿不同方向看，它的频率可以不一样。比如沿着山脊走，就很平坦，频率很低，但垂直山脊走那就是直接跳崖，频率很高。所以你想表示频率，得至少用到两个变量--比如（100，10）就表示横向看频率为100，但纵向看频率只有10的频率。也就是一副纵向走向的山脊的图形。f（100，10）= y就是说图像上这种纵向山脊的分量有y这么多。同理， f（10,100）=5y就是说横向山脊的分量是纵向山脊的5倍那么多。所以二维图像傅里叶可以让你看到各个方向上频率的多少

作者：哒哒

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首先默认观看本回答的知友们都了解傅里叶变换的基础知识！

一维信号可以分解为多个正弦信号；二维信号（图像）也能够分解为多个正弦分量（条纹分量）

对于一幅M×N的图像，其傅里叶变换公式如下：

这里我们给一幅1200×1200的图像：

1、先来讨论一下指数部分

指数部分可以分解为实部（余弦函数）、虚部（正弦函数）

1）假设u=10，v=0，余弦函数和正弦函数的自变量为x，y（如下图：横轴坐标为x，纵轴坐标为y）。可以发现条纹方向是横向的。

正弦图

余弦图

若u=0，v=10，条纹方向是纵向的

正弦图

余弦图

若u=10，v=10：条纹方向为45°方向

正弦图

余弦图

若u=10，v=17（≈10×根号3）：条纹方向约为60°

正弦图

余弦图

这里我们可以发现，条纹的方向是和向量（u/M, v/N）的方向平行的，文中举的例子因为M=N=1200，所以和向量（u,v）平行。

2）现在我们假设u=0，v=2, 5, 10

v=2

v=5

v=10

可以发现：v为多少，就有多少道条纹；事实上条纹频率和 u+v成正比 。

2、回到傅里叶变换公式部分

我们将公式中指数部分分解：

实部就可以看成：原图和余弦图的卷积，得到的值我们假设为 R(u, v)

虚部可以看成：原图和正弦图的卷积，得到的值我们假设为 I(u, v)

仔细观察能够发现：傅里叶变换公式和空间域的滤波公式十分接近，只不过是滤波模板的尺寸和原图一样大了而已，而u，v决定了模板的条纹形状。

3、幅值和相位

幅值表征了该条纹分量的幅度；相位表征了该条纹分量相对于原点的偏移量。确定u,v以后，没有偏移量的条纹（即相位为0的条纹分量）就是当前u,v确定的正弦条纹；若存在偏移量，就是正弦条纹沿条纹的法线方向偏移相应大小的偏移量（也可以理解成偏移“”个周期）。

不同的条纹分量的幅值：

不同的条纹分量的相位：

为什么可以这么计算，这个证明过程比较复杂，为了让大家直观的感受一下，这里举一个一维信号的例子：

假设存在一正弦函数 ，假设我们知道该正弦函数的频率，但不知道该正弦函数的相位，为了得到该函数的相位，可以用正弦函数 与之进行相关计算：

通过相关函数的最大值，我们可以确定该正弦函数的相位值为

除了这种方法能够得到相位值，还有没有别的方法呢？答案是有的！话不多说，直接上matlab程序，大家看程序理解吧！

P=0.75*pi; %偏移相位
B=0:0.00001:6;
T1=sin(2*pi*B); %正弦函数
T2=cos(2*pi*(B)); %余弦函数
T3=sin(2*pi*B+P); %添加偏移相位的函数
C1=sum(T3.*T3);
C2=sqrt((sum(T1.*T3))^2+(sum(T2.*T3))^2);
disp(C1);disp(C2);
disp(sum(T1.*T3)/sum(T2.*T3))
disp(tan(P))
 
>>3.0000e+05
  3.0000e+05
  -1.0000
  -1.0000

可以看出不仅相位，幅值最终也相同。

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图像傅里叶变换的频率怎么理解？