从零开始学数据结构系列之第四章《什么是关键路径》

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定义

​   从源点到汇点的有向路径可能有多条，所有路径中，具有最大路径长度的路径称为关键路径，而把关键路径上的活动称为关键活动。

图解

那什么是关键路径？

​ 那我们做一个例子，老师叫3个人写作业，然后呢，如果他们3个都写完的话，让学委去收，

​   那我假设同学 a 写这次作业要一个小时，

​     同学 b 要3个小时

​     同学 c 要5个小时

​   那这样是不是我同学 a 同学 b 要等同学 c 都写完了之后的话，我学委才能把这三本作业给收齐，那这样的话，我们的关键节点也就是我们的同学 c 也就是最长那写作业时间那一个

​   那同理，我们的工程项目也是同样的道理，那所以我们工程项目中所需要最长时间的工程时间的话，也就是我们的关键路径

注意以下名词：

（1）求所有事件的最早发生时间ve()；

（2）求所有事件的最迟发生时间vl()；

（3）求所有活动的最早发生事件e()；

（4）求所有活动的最迟发生时间l()；

（5）求所有活动的时间余量d()；

事件最早开始时间

​   v–顶点，e–early）事件最早发生时间，指能够保证该事件一定发生的最早时间，对应最长路径。唯有保证该条路径最长，才能保证其他短的路径已经完成，该事件才会发生。

​   那我们可以拆分开来看，那我们可以将最早开始时间拆分成3个部分来进行理解

​   “最早” ---------- 可以理解成工程项目必须要在多少点前开始，如果工程并没有拖延的情况下，不在这个点开始的话，那工程项目就做不完了

​     ”开始“ --------- 工程开机时刻

​     ”时间“ ---------- 某一时刻

那我们还是拿上面的例子用来讲解

那假设教师要求一定要在五点钟前收齐作业

​   那我们 a 同学要开工的时间是4点

​   那我们 b 同学要开工的时间是2点

​   那我们 c 同学要开工的时间是12点

​   那12点 比 2 点要早 比 4 点要早，那我们 c 同学要开工的时间，就是我们的最早开始时间

​   那从上面我们可以得出相应的结论。那也就是说我们时间最长/值最大的这一条活动，也就是我们的最早开始时间

那我们可以根据下面的图来进行一个相应的判断

Ve（i）是我们的事件最早开始时间

那我们的最早开始时间的话，就是我们的正序拓扑结构

• 那首先我们 v 1节点到 v 1节点的话，那它的最早开始时间是一个0,（因为自己到自己的情况下并不需要花费时间，可以进行这样的理解），所以我们的 v 一的最早开始时间就是0

• 那看到我们 v2，那我们 v2的话是由只有我们 v 1节点才能到 v2节点。那我们的最早开始时间就是 v 1到 v2的活动时间也就是等于3

• 那同理我们 v3节点也是只能是 v 1节点到 v3节点，那也是我们的活动时间，那我们 v3的最早开始时间也就是2

• 那现在看到我们 v4节点,那到达我们 v4节点的话，可以由我们的 v2节点和 v3节点同时到达我们的 v4节点。那所以的话我们要看它的权值是哪边大哪边小，我们可以看到 v2和 v3节点它的活动时间，分别是2和4，分别对应这V1到V2到V4这样子，也是v 1到 v3到 v4这样子，那这两种情况的话，它的最早开始时间分别对应着3加2等于5与上2+4等于6，那我们的6是比5大的那所以根据我们前面的结论，那我们V4的最早开始时间的话就是6

• 那V5的话，那它的最短路径就是我们 v 1到 v2之后再到 v5。那这样的话，那我们的活动时间加起来的话，它就等于6，那我们 v5的最短路径就是6了

• 那同理的话，我们V6节点，我们可以通过 v5和 v4和 v3节点同时到达我们 v6节点。那根据我们这3个的最早开始时间，那开始计算，我们可以计算出它的结果是7，8，5，那v6的最短最早开始时间，那就是8。

事件最迟开始时间

​   事件最迟发生时间，指该事件可以发生的最晚时间，对应到最终顶点的最短距离。有一些事件与其他事件并行时，因为其他事件所在路径时间更长，所以该事件可以延迟发生。

那我们还是拿上面的例子用来讲解

那假设教师要求一定要在五点钟前收齐作业

​  那我们 a 同学要开工的时间是4点

​   那我们 b 同学要开工的时间是2点

​   那我们 c 同学要开工的时间是12点

​   那 4 点 比 2 点要晚 比 12 点要晚，那我们 A 同学要开工的时间，就是我们的最迟开始时间

​   那从上面我们可以得出相应的结论。那也就是说我们时间最长/值最小的这一条活动，也就是我们的最晚开始时间

Vl（i）是我们的最晚开始时间

  同理那我们的最晚开始时间的话，就是我们的逆序拓扑结构，也就是后往前看，如果有两条活动轨迹以上的话，那我们选择最小的一方来为我们的最晚开始时间

• 那由于我们的 v 一节点和 v6节点分别是开始以及结束。那它的最晚开始时间的话，就是它本身也就是不用变动，那就是分别是0和8
• 那我们看 v2节点，那它是可以通过 v6到 v5到 v2，或者就是 v6到 v4再到 v2这样子的步骤来走的，那它两边分别的活动时间都是4，那V2他的最晚开始时间的话，就是4
• 那我们 v3的话，它是可以 v6直接到 v3，或者是 v6到 v4再到 v3，那我们 v6到 v3的话，那它就是8-3=5。那如果是经过 v4节点的话，那它就是6-4=2，那这样的话我们从 v3来考虑，如果直接从 v3到 v6的话，那它就做不完了。那所以说我们要选取最小的，也就是我们 v4到 v6这个节点，所以我们逆序来看的话，那也是选取它活动轨迹最小的一条，来作为我们最晚开始时间，所以根据上一季的结论的话，我们可以得出我们 v3节点的最晚开始时间就是2.
• 那我们 v4也同理，我们可以直接从 v6直接到 v4，只有这一条活动轨迹，那这样的话就是8-2，那是等于6的，那所以我们 v4的最晚开始时间，那就是6
• 同理，那我们 v5的最短时间那就是8减去1，那是等于7

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往期回顾

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2.【第一章】《单链表》
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4.【第一章】《单链表的基本操作》
5.【第一章】《单链表循环》
6.【第一章】《双链表》
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8.【第二章】《栈》
9.【第二章】《队》
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11.【第二章】《字符串kmp匹配》
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14.【第三章】《二叉树链式结构及实现1》
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37【第四章】《图的定义》
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