【数学建模】趣味数模问题——四人追逐问题

问题描述：

如图所示，在正方形ABCD的四个顶点各有一个人。在初始时刻 t=0 时，四人同时出发，以匀速 v 沿顺时针方向朝下一个人移动。如果他们始终对准下一个人为目标行进，最终结果会如何？需要作出各自的运动轨迹。

模型分析：

• 每个人都沿着正方形的边朝着下一个人移动，直到所有人都相遇为止。
• 运动的结果是四人的运动轨迹会逐渐收缩，最终相遇于正方形的中心。

模型建立与求解：

Matlab程序实现： 文件中包含了一个Matlab程序 run.m 用于模拟这一过程，核心代码如下：

% 模拟运动
n = 240;
x = zeros(4, n);
y = zeros(4, n);
dt = 0.05; % 时间间隔
v = 10; % 速度
 
% 初始坐标
x(1,1) = 100; y(1,1) = 0;    % 第1个人初始坐标
x(2,1) = 0;   y(2,1) = 0;    % 第2个人初始坐标
x(3,1) = 0;   y(3,1) = 100;  % 第3个人初始坐标
x(4,1) = 100; y(4,1) = 100;  % 第4个人初始坐标
 
% 模拟过程
for j = 1:n-1
    for i = 1:3
        d = sqrt((x(i+1,j)-x(i,j))^2 + (y(i+1,j)-y(i,j))^2);  
        cosx = (x(i+1,j)-x(i,j))/d;  % 计算cos值
        sinx = (y(i+1,j)-y(i,j))/d;  % 计算sin值
        x(i,j+1) = x(i,j) + v*dt*cosx;  % 新x坐标
        y(i,j+1) = y(i,j) + v*dt*sinx;  % 新y坐标
    end
    d = sqrt((x(1,j)-x(4,j))^2 + (y(1,j)-y(4,j))^2);  
    cosx = (x(1,j)-x(4,j))/d;  % 计算cos值
    sinx = (y(1,j)-y(4,j))/d;  % 计算sin值
    x(4,j+1) = x(4,j) + v*dt*cosx;  % 第4点新x坐标
    y(4,j+1) = y(4,j) + v*dt*sinx;  % 第4点新y坐标
    plot(x(1,j), y(1,j), 'ro', x(2,j), y(2,j), 'bo', x(3,j), y(3,j), 'go', x(4,j), y(4,j), 'yo')  % 作图
    hold on
    pause(0.1)
end