动态规划_完全背包问题_动态规划求解完全背包问题

描述

设有 n 种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为 M，今从 n 种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于 M，而价值的和为最大。

输入描述

第一行：两个整数，M ( 背包容量，M≤200 )和 N ( 物品数量，N≤30 )。
第 2…N+1 行：每行二个整数 Wi​,Ci​，表示每个物品的重量和价值。

输出描述

仅一行，一个数，表示最大总价值。

样例输入

10 4
2 1
3 3
4 5
7 9

样例输出

max=12

数据范围与提示

M≤200，N≤30

完全背包与01背包的区别：

01背包文件解决：动态规划_01背包问题-CSDN博客

完全背包问题解决：

物品编号为i，，背包容量为j ，背包价值为p[i][j]

（1）第一行（i=1）尝试将序号为1的物品放入背包：

背包容量为1时，什么都装不进去背包价值为0，P[1][1]=0。

背包容量为2时，正好1号物品重量为2，背包价值为1，P[1][2]=1。

因为是完全背包问题，物品只有无数，所以第一行后面的背包价值会重新计算：P[i][j]=max(第i种物品价值+P[i][去掉第i个物品重量以后背包剩余重量]，P[i-1][j])，如：p[1][4]=max(第1中物品价值为1+p[1][背包价值4-第1个物品重量2]，P[0][4])= max(1+p[1][ 4- 2]，0)=max(1+p[1][2]，0)= max(2，0)

（2）第二行（i=2）尝试将序号为1、2的物品放入背包：

背包容量为1时，什么都装不进去背包价值为0，P[2][1]=0。

背包容量为2时，正好1号物品重量为2，背包价值为1，P[2][2]=1。

背包容量为3时，对比第一行是背包价值为1，即 P[1][2]=1。现新增加了第2种物品，新增加的重量为3，正好为背包容量。因此 P[2][3]=3。。

背包容量为4时，也只能放重量为3的物品P[2][4]=3

背包容量为5时，对比第一行是背包价值为1，即 P[1][5]=1。现新增加了第2种物品，背包装上第2种物品后剩余容量为2，正好装第1种物品，因此 P[2][5]=4。P[i][j]=max(第i种物品价值+P[i][ 去掉第i个物品重量以后背包剩余重量]，P[i-1][j])=max(p[2][2]+3,p[1][5])=max(1+3,1)=4

依次类推完成表格：

推理：

背包容量为j时，可装入背包的最大价值为：

如果j<第i 物品重量：直接取上方表格背包价值，即p[i][j]= p[i-1][j];

如果j>=第i 物品重量：

P[i][j]=max(P[i][去掉第i个物品重量以后背包剩余重量]+第i种物品价值，P[i-1][j]) 。

实现代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int p[201][201] = {},b[201][2] = {} ;//p[201][201]背包价值 b[201][2] 物品重量价值
    int  M,N; //M 背包容量，N物品数量
	cin >> M >> N;
	for(int i = 1;i <= N;i++)
	{
		cin >> b[i][0] >> b[i][1];
	}
	for(int i = 1;i <=N;i++)
	{
		for(int j = 1;j <= M;j++)
	    {
            if (j < b[i][0]) 
            {
                 p[i][j]=p[i-1][j];
            }
            else
            {
                 int val= j-b[i][0];//去掉第i个物品重量以后背包剩余重量 
                 p[i][j]=max( b[i][1] + p[i][val] , p[i-1][j]) ;
            }   
	    }
	}
    cout <<"max="<< p[N][M];
	return 0;
}

代码执行过程：

选择1个产品背包价值：

(1,1)=0  (1,2)=1  (1,3)=1  (1,4)=2  (1,5)=2  (1,6)=3  (1,7)=3  (1,8)=4  (1,9)=4  (1,10)=5  
选择1、2个产品背包价值：

(2,1)=0  (2,2)=1  (2,3)=3  (2,4)=3  (2,5)=4  (2,6)=6  (2,7)=6  (2,8)=7  (2,9)=9  (2,10)=9  
选择1、2、3个产品背包价值：

(3,1)=0  (3,2)=1  (3,3)=3  (3,4)=5  (3,5)=5  (3,6)=6  (3,7)=8  (3,8)=10  (3,9)=10  (3,10)=11  
选择1、2、3、4个产品背包价值：

(4,1)=0  (4,2)=1  (4,3)=3  (4,4)=5  (4,5)=5  (4,6)=6  (4,7)=9  (4,8)=10  (4,9)=10  (4,10)=12