机器人运动学（四）：逆向运动学_机器人逆向运动学

作者：正经夜光杯 | 2024-07-20 02:56:27

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机器人逆向运动学

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前言

网课：台大机器人运动学课程
书籍：机器人导论

一、引言

回顾之前学的手臂顺向运行学forward kinematics（FK）
给予 $\theta_i$ ，求得{H}或 $^WP$
$^W_HT = f(\theta_1...,\theta_i,...\theta_n...)\\~\\~ ^WP= ~^W_HT^HP$
今天要学的逆向运动学Inverse Kinematics（IK）
给予{H}或 $^WP$ ，求得 $\theta_i$
$[\theta_1...,\theta_i,...\theta_n...]=f^{-1}(^W_HT)$
在这里插入图片描述

二、求解概念

2.1.分析

假设手臂有6DOFs
则有6个未知的joint angles（ $\theta_i$ 或者 $d_i$ ，i=1，2，……6）
在 $^W_HT$ 中摘取出含未知数的 $^6_0T$
含有16个数字，除去构成homogeneous transformation matrix的最后一行四个数字，其余十二表示了所有位姿参数。其中左上的九个即为world frame到hand frame的rotation matrix，我们知道旋转只有三个自由度，所有在rotation matrix中有六个限制条件，首先，我们知道rotation Matrix的三个columns即为frame{B}的basis: $X_B,Y_B,Z_B$ 在{A}上的表示，所以前三个的条件为矩阵的每一个columns的范数为1，由于都是basis，所以后三个限制条件为三个columns两两垂直。在rotation matrix右边的三个为{W}原点到{H}原点的向量，也就是移动的三个自由度。
求解
十二个nonlinear transcendtal equations方程式
六个未知数，六个限制条件
Reachable workspace
对空间中手臂可以用一种以上的姿态到达的点的集合。
Dexterous workspace
对空间中手臂可以用任意姿态到达的点的集合。
Ex：A RR manipulator

图中，只有 $l_1= l_2$ 时的原点是Dexterous workspace

Subspace
手臂在定义头尾的T所能达到的变动范围。T（可以理解为空间中的位姿）本身在空间中，可以包含的移动和转动可以包含的非常多，但是手臂不是每个都能到得了，可以到的那一些称为这个手臂的Subspace。

Ex：A PRmanipulator
在这里插入图片描述
要达到空间中某个（第二个关节的平面上） $(x, y)$ 坐标点上，当我们决定了x，y后，事实上我们也决定了到达这个点的姿态。

在式中 $^0P_{org}$ 是{2}原点在{W}的向量坐标，可以看出，当机械臂到达坐标（x，y）后，{2}Z轴已经确定了，因为只有两个关节，没有多的参数可以调控姿态，所有没办法可以使手臂在（x，y）上有各种姿态到达。换句话说，如式中所示，随着x，y变化的只有第一个和第三个columns的前两个参数，rotation tmatrix剩下的五个参数已经固定，在这个手臂上，与这五个参数不一样的姿态手臂都到达不了。
所以，当手臂的自由度不够的时候，事实上手臂的subspace是非常有限的。所以，在我们对一个手臂的预想某一个位姿，这个手臂到不到得了，可以做一个初步的判断。