短时傅立叶变换_短时傅里叶变换公式

短时傅立叶变换（Short-Time Fourier Transform，简称STFT）是一种用于分析非平稳信号（即随时间变化的信号）的频谱特性的方法。STFT 通过将信号分成较短的时间段，并对这些时间段应用傅立叶变换（Fourier Transform，FT），以获得信号的时间-频率表示。这使得我们能够观察到信号在不同时间段的频谱特性。

STFT 的数学表达式如下：

$$STFTx(t)(f,t)=X(f,t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(\tau )w(\tau -t)e^{-j2\pi f\tau }d\tau$$

其中：

$x(t)$ 是需要分析的信号；
$w(t)$ 是窗函数，用于将信号切分成较短的时间段，常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗（Hanning window）和汉明窗（Hamming window）等；
$f$ 是频率；
$t$ 是时间；
$j$ 是虚数单位。
STFT 的主要优点是能够获得信号的时间-频率表示。然而，由于使用固定长度的窗函数，STFT 在时间和频率分辨率方面存在一定的限制。换句话说，窗的长度越长，频率分辨率越高，但时间分辨率降低；窗的长度越短，时间分辨率越高，但频率分辨率降低。这种限制被称为时间-频率分辨率权衡。

为了克服这种限制，可以使用更为灵活的时间-频率分析方法，如小波变换（Wavelet Transform）。