矩阵的路径最小和 python实现_97ai

矩阵的路径最小和 python实现

数据的算法与结构是每个程序员必须熬过的基础之一，相信大家在解析问题的时候总会迸发灵感想出自己的算法。下面结合算法中的经典问题：矩阵路径和最小，提出问题不同的求解方法，方便初学者更好的理解算法结构以及分析问题的思路。

问题：给定一个矩阵m，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，返回所有路径和中最小的路径和。

方法1：递归寻找所有路径和 （左、上两个方向）
对于这种重复进行操作判断的问题，我们最容易想到的就是递归了，暴力递归总是我们最好的朋友。

import numpy as np
def f(v, i, j):
	#到达原点终止
    if i == 0 and j == 0:
        return v[0][0]
     #到达最上端，不再执行上走
    elif i == 0:
        return f(v, i, j - 1) + v[i][j] #j-1表示向左走
     #到达最左端，不再执行左走
    elif j == 0:
        return f(v, i - 1, j) + v[i][j] #i-1表示向上走；
     #以上为终止条件，else中的是递归的链条  
    else:
    	#比较左走还是上走的产生的路径和小，进行累加
        return min(f(v, i - 1, j), f(v, i, j - 1)) + v[i][j]

v = np.array([[1, 3, 5, 9],
              [8, 1, 3, 4],
              [5, 0, 6, 1],
              [8, 8, 4, 0]])
print(f(v, 3, 3))
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既然是从左上角（A点）抵达右下角（B点）的路径和，那么我们就可以巧妙地利用逆向的思维，将问题转化未由右下角退回至左上角，可以减少我们定义变量的数量，以及分析问题的复杂程度。
问题就变为 ：f(v, i, j)=f(v, i, j)+v [i] [j]
这里的f(v, i, j)就是我们存储的上一步的路径和；v [i] [j]是当前步骤的数字

因此递归的要素：
终止条件：到达A点（i=0，j=0）
链条：判断左走的路径和小，还是右走的路径和小，累加数字

我们再对问题进行一次回顾，每走一步即判断下一步是左走还是上走比较好，由于递归的层层嵌套，这里已经将所有路径的可能都进行了比较取优，时间复杂度Θ(nlgn)，这怎么能够满足我们对知识的探索呢？那怎么减少计算的次数呢？
因此再提出另一种方法：动态规划。

'''方法2：动态规划（下、右两个方向）'''
def minSum(list1):
    l1=len(list1)
    if l1<2:
        return list1
    list2=list1
    for i in range(1,l1):                       #设定了一个初始值矩阵，指定0行0列数字为第一个数字进行向右或是向下产生的路径和,
        list2[0][i]=list1[0][i-1]+list1[0][i]
        list2[i][0]=list1[i-1][0]+list1[i][0]
    for i in range(1,l1):
        for j in range(1,l1):
            sum1=list2[i][j-1]+list1[i][j]      #对于矩阵中的每一个元素进行一个判别，从第上一个元素到达该位置，是执行向下走 j-1 的数值小还是向右走 i-1 的路径和数值小
            sum2=list2[i-1][j]+list1[i][j]
            if sum1<sum2:
                list2[i][j]=sum1                 #判别成功后，将路径和小的那个路径，写在最后的元素的位置上替代该元素。之后进行循环判别各个路径加上哪个新元素的路径和小
            else:
                list2[i][j]=sum2
    return list2[l1-1][l1-1]

print(minSum(v))
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动态规划的思路是，为路径和再生成一个矩阵list2，该矩阵的维度与原矩阵相同，矩阵的每个位置保存从原点到达该位置的路径和（该路径和需判断是否向右走的产生小，还是向下走产生的小），即每走一步更新一次矩阵，当到达终点是，矩阵的最后一个元素即为最小路径和。
动态规划的步骤更为清晰，因此直接遍历元素即可达到效果。因此时间复杂度O(M×N)远小于递归。
这里我们进行一个简单的验证：
两个函数循环运行1000次

import datetime
import time
t1 = datetime.datetime.now().microsecond
t3 = time.mktime(datetime.datetime.now().timetuple())

for m in range(1000):
    f(v, 3, 3)

t2 = datetime.datetime.now().microsecond
t4 = time.mktime(datetime.datetime.now().timetuple())
strTime = '递归 use:%dms' % ((t4 - t3) * 1000 + (t2 - t1) / 1000)
print(strTime)

''''''
t1 = datetime.datetime.now().microsecond
t3 = time.mktime(datetime.datetime.now().timetuple())

for m in range(1000):
    minSum(v)

t2 = datetime.datetime.now().microsecond
t4 = time.mktime(datetime.datetime.now().timetuple())
strTime = '动态规划 use:%dms' % ((t4 - t3) * 1000 + (t2 - t1) / 1000)
print(strTime)

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输出结果为：

12
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递归 use:34ms
动态规划 use:21ms
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