聚类的评价指标_silhouette index

作者：煮酒与君饮 | 2024-08-16 22:37:25

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silhouette index

我们知道，监督学习的评价指标是准确率、召回率、 $F_1､F_\beta$ 、ROC-AUC等等，但聚类方法在大多数情况下数据是没有标签的，这些情况下聚类就不能使用以上的评价指标了。
聚类有自己的评价指标，大多数聚类的评价指标是通过紧凑性和可分性来定义的。紧凑性基本上是衡量一个聚类中的元素彼此之间的距离，而可分性表示不同聚类之间的距离，总的来说聚类的评价指标有以下三个类型：
1､外部指标：这是处理有标签数据时使用的评分，可以说监督学习的评价指标都是外部指标。

2､内部指标：使用数据来衡量数据和结构之间的吻合度。

3､相对指标：通过对比，表明两个聚类结构中哪一个在某种意义上更好。

一、Adjusted Rand Index(调整兰德系数)

Adjusted Rand Index是外部指标的一种，其得分区间是 $[- 1, 1]$ 。在计算Adjusted Rand Index前，我们要先计算一下Rand Index。

1､Rand Index(兰德系数)

Rand Index是Adjusted Rand Index的前身，Rand Index因为惩罚力度不够，导致聚类得分普遍很高，因此才有Adjusted Rand Index。
$\frac{a+b}{$

(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} n\\ 2\\ \end{pmatrix}$ }

R I = \frac{a + b}{( n 2 )}

a：表示在真实标签上在同一个分类，聚类后也在同一个分类的对数。
b：表示在真实标签上不在同一个分类，聚类后也不在同一个分类的对数。

(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})

：表示所有数据的对数，在排列组合中的表示方式是

C^2_n

。

例如：

假设有数据(a,b,c,d,e)，在真实标签中(a,b)为一类，(c,d,e)为另一类，而聚类后(a,b,c)为一类，(d,e)为另一类，那么
$a = C^2_2 + C^2_2 = 2$
$C^1_2 * C^1_2 = 4$

$(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})$ $\begin{pmatrix} n\\ 2\\ \end{pmatrix}$ = C^2_5 = 10 $(n 2) = C_{5}^{2} = 10$
$\frac{2+4}{10} = 0.6$

2､Adjusted Rand Index的计算

$\frac{RI- ExpectedIndex}{max(RI)-ExpectedIndex}$
ARI的原始公式是这样子的:

二、Silhouette index(轮廓系数)

轮廓系数是内部指标的一种，其得分区间是 $[- 1, 1]$ 。
计算数据点的轮廓系数：
$S_i = \frac{b_i - a_i}{max(a_i,b_i)}$
a是同一个聚类中到其它样本的平均距离；
b是与它距离最近的不同的聚类的样本的平均距离。

聚类的轮廓系数：
$\frac{\sum^{n}_{i=1}S_i}{n}$

轮廓系数的缺点：
1､轮廓系数不适合评价紧凑的环形的数据聚类；
2､当模型是DBSCAN时，不适合使用轮廓系数作为评价指标。

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