张量投票(Tensor voting)理论快速入门

本文内容与截图主要参考[A Computational Framework for Segmentation and Grouping,Gérard Medioni, Mi-Suen Lee and Chi-Keung Tang]
(http://download.csdn.net/detail/u010658879/8476737 A Computational Framework for Segmentation and Grouping)
和A Perceptual Organization Approach to Computer Vision and Machine Learning

算法流程

算法流程图示：

1. Input tokens: 输入点云，分三类：只包含位置信息的点、包含位置和法向信息的点、包含位置和切向信息的点。
2. Encode: 参考输入信息，将输入点云参照下两幅截图图编码成张量(tensor tokens)。每个输入点都对应一个张量。如无特殊说明，后面提到“张量”，都指二阶张量。
   二维张量编码参考：
   
   比如，输入点$p(x,y)$包含法向信息$n(n_x,n_y)$(即棒张量)，则该点编码为张量
   $$S=（{\lambda }_1-{\lambda }_2）{\hat{e}}_1{\hat{e}}_1^T+{\lambda }_2({\hat{e}}_1{\hat{e}}_1^T+{\hat{e}}_2{\hat{e}}_2^T),$$其中 $（{\lambda }_1-{\lambda }_2）=1,表棒张量显著性=1;{\lambda }_2=0,表球张量显著性=0;{\hat{e}}_1=\hat{n}$
   即$S=\hat{n}{\hat{n}}^T$，其他类型类似。
   三维张量编码参考：
   
3. Tensor Voting:
   This process is similar to a convolution with a mask, except that the output consists of a tensor, instead of a scalar.

每个输入***点***都对应一个***张量***，产生一个***张量场***,对邻域的不同点有不同的场强影响。二维棒张量场和球张量场如下图左，下右图表示$O$点产生的棒张量场可作用到领域点$P$张量上。

现讨论二维张量的投票过程：先设棒张量对邻域点$p$作用的张量算子$F_S(p)$,球张量对邻域点$p$作用的张量算子$F_B(p)$,后面会具体提到几种张量算子的具体形式；
假设输入只有两点$p_1,p_2$(可推广到无数个点)，分别编码为
$$S_{0,i}=（{\lambda }_{i,1}-{\lambda }_{i,2}）{\hat{e}}_1{\hat{e}}_1^T+{\lambda }_{i,2}({\hat{e}}_1{\hat{e}}_1^T+{\hat{e}}_2{\hat{e}}_2^T)=S_{0,i}^S+S_{0,i}^B,$$下标0表示第0次投票后，$i$取值为$p_1,p_2$。
Stick vote.点$p_1$收集到的棒投票张量就是点$p_2$投出的棒投票张量，即$F_S(p_1)$,一次棒张量投票后点$p_1$的张量变为
$S_{1,p_1}^S=S_{0,p_1}^S+（{\lambda }_{p_2,1}-{\lambda }_{p_2,2}）F_S(p_1)$
Ball vote.同理有点$p_1$收集到的球投票张量$F_B(p_1)$,一次球张量投票后点$p_1$的张量变为$$S_{1,p_1}^B=S_{0,p_1}^B+{\lambda }_{p_2,2}{F}_B(p_1)$$
最后汇总一次投票后的各个点的张量$$S_{1,i}=S_{1,i}^S+S_{1,i}^B$$
三维张量场如下图，三维场！！

4. Tensor Decomposition:由于任一张量可分解为球张量、板张量、棒张量的线性组合，一次投票后，各点张量信息得到改善，再次进行张量分解为下图的形式
   
   然后进行二次张量投票，与第一次不同的是，这一次球张量不再有投票权(加速算法的目的)。

5. 几种张量算子(Tensor kernel)
   把二维棒张量作为张量投票基本算子，因为其他几类张量算子都可由棒张量算子推导获得。
   显著性衰减函数
   
   $s$-曲线长度，$\kappa$-曲率，$c$-控制曲率衰减程度，$\sigma$-投票邻域范围，$l$-两点间的距离
   
   
   基本算子中唯一的变量就是$\sigma$，只要$O,P$两点定了其他量也恒定了。
   二维球张量算子
   
   $R(\theta )$-旋转$\theta$角度的二维矩阵。为求方便，会用累加求和
   $$B_{SO}(P)=\sum _{i=1}^K{\overrightarrow{v}}_i{\overrightarrow{v}}_i^T$$
   KaTeX parse error: Unexpected character: '' at position 2: v̲_i are the stick votes tensors with angle $\frac{2\pi }{K}i$
   三维球张量算子
   
   三维板张量算子
   

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MATLAB代码仿真：可从github上找到，也可以从[https://download.csdn.net/download/u010658879/8515907]下载
后来找到更好的tensor voting相关资料（包含伪代码实现，见附录2），下载地址[https://download.csdn.net/download/u010658879/8514365]