6 矩阵相关案例

矩阵计算在CUDA中的应用是并行计算领域的典型场景 ；

矩阵算法题通常涉及线性代数的基础知识，以及对数据结构和算法的深入理解。解决这类问题时，掌握一些核心思想和技巧会非常有帮助。以下是一些常见的矩阵算法题解题思想：

1. 动态规划：矩阵链乘法问题是一个典型的例子，它要求找出最优的括号化方式来最小化乘法次数。动态规划通过构建一个表来存储子问题的解，从而避免重复计算，达到高效求解的目的。

2. 分治策略：在处理大规模矩阵运算时，如大矩阵乘法，可以考虑分治法，即将大矩阵分割成小矩阵，先计算小矩阵的乘积，再合并结果。Strassen算法就是一个经典的分治算法，它将矩阵分为四个子矩阵，通过7次较小矩阵的乘法来计算原矩阵的乘积，而非传统的8次。

3. 空间换时间：预计算和缓存技术可以用来加速某些类型的矩阵操作，例如计算矩阵的幂。通过预先计算并存储中间结果，后续计算可以复用这些结果，减少重复计算，尽管这可能会增加内存消耗。

4. 位运算：在处理特殊类型的矩阵（如稀疏矩阵或二进制矩阵）时，位运算可以极大地提高效率。例如，利用位运算进行集合运算（交、并、差）可以比传统循环更快。

5. 迭代与递归：在解决某些矩阵问题时，如计算矩阵的特征值、行列式或幂，迭代法和递归法可以提供不同的解决方案。迭代通常用于连续逼近问题，而递归则常用于分解问题为更小规模的相似问题。

6. 利用矩阵特性：理解和利用矩阵的性质（如对称性、正定性、稀疏性）可以简化算法设计。例如，对称矩阵的乘法可以优化存储和计算，稀疏矩阵则可以通过压缩存储格式来节省空间和计算资源。

7. 线性代数变换：诸如LU分解、QR分解、奇异值分解（SVD）等线性代数中的矩阵分解技术，可以将复杂问题转化为更易于处理的形式。这些方法在解决逆矩阵、最小二乘问题、特征值问题等方面非常有效。

73. 矩阵置零

给定一个 m x n 的矩阵，如果一个元素为 0 ，则将其所在行和列的所有元素都设为 0 。请使用 原地 算法。

思想：

既然要对矩阵中为零的元素的同行、同列都要置为0；

简单的：记住元素0 的行以及列；

在Python中，列表（list）的拷贝可以通过两种主要方式实现：浅拷贝（shallow copy）和深拷贝（deep copy）。这两种拷贝方式的主要区别在于它们处理列表中嵌套对象（如子列表或其他可变对象）的方式。

浅拷贝：里面有复杂结构的不会被拷贝；

浅拷贝创建了一个新列表，但这个新列表中的元素仍然是原列表中元素的引用。这意味着，如果原列表中含有其他可变对象（如子列表），新列表中的对应元素会指向相同的子列表对象。因此，修改新列表中的子列表会影响到原列表中的相应子列表。

浅拷贝可以通过以下方法实现：

• 使用列表的 copy() 方法：new_list = original_list.copy()
• 使用切片操作：new_list = original_list[:]

深拷贝：里面有复杂结构的也会被拷贝；

深拷贝则不仅创建列表的新副本，还会递归地拷贝列表中所有层级的元素，为所有嵌套的对象创建新的独立副本。因此，修改深拷贝得到的新列表中的任何元素，都不会影响到原列表或其嵌套对象。

深拷贝可以通过以下方法实现：

• 使用 copy 模块的 deepcopy() 函数：import copy; new_list = copy.deepcopy(original_list)

import copy
class Solution:
    def setZeroes(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
        """
        Do not return anything, modify matrix in-place instead.
        """
        rows = []
        cols = []
        for i in range(len(matrix)):
            for j in range(len(matrix[0])):
                if matrix[i][j] == 0:
                    rows.append(i) 
                    cols.append(j)
        
        for row,col in zip(rows,cols):
            matrix[row] = [0] * len(matrix[0])
            for z in range(len(matrix)):
                matrix[z][col] = 0
 
        

54. 螺旋矩阵

这个题目我遇到很多次了，真的是让我又爱又恨呢，孽缘啊！值的多看看几遍的题目；

给你一个 m 行 n 列的矩阵 matrix ，请按照 顺时针螺旋顺序 ，返回矩阵中的所有元素。

思想：

到底怎么走的呢：

根据题目示例 matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] 的对应输出 [1,2,3,6,9,8,7,4,5] 可以发现，顺时针打印矩阵的顺序是 “从左向右、从上向下、从右向左、从下向上” 循环。

因此，考虑设定矩阵的 “左、上、右、下” 四个边界，模拟以上矩阵遍历顺序。

算法流程：
1 空值处理： 当 matrix 为空时，直接返回空列表 [] 即可。
2 初始化： 矩阵 左、右、上、下 四个边界 l , r , t , b ，用于打印的结果列表 res 。
3 循环打印： “从左向右、从上向下、从右向左、从下向上” 四个方向循环打印。

1. 根据边界打印，即将元素按顺序添加至列表 res 尾部。
2. 边界向内收缩 1 （代表已被打印）。
3. 判断边界是否相遇（是否打印完毕），若打印完毕则跳出。

4 返回值： 返回 res 即可。

class Solution:
    def spiralOrder(self, matrix: List[List[int]]) -> List[int]:
        if not matrix:return []
        l,r,t,b,res = 0,len(matrix[0])-1,0,len(matrix)-1,[]
 
        while True:
            for i in range(l,r+1): res.append(matrix[t][i])
            t+=1
            if t>b:break
 
            for i in range(t,b+1): res.append(matrix[i][r])
            r-=1
            if l>r:break
 
            for i in range(r,l-1,-1): res.append(matrix[b][i])
            b-=1
            if t>b:break
 
            for i in range(b,t-1,-1): res.append(matrix[i][l])
            l+=1
            if l>r:break
        return res
 

48. 旋转图像

MD! 这个题目，让我想到了在做计算机视觉时图像赠强！

给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像顺时针旋转 90 度。

你必须在 原地 旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要 使用另一个矩阵来旋转图像。

先转置，然后把每一列翻转；

这个想法，我最想到的就是把矩阵转置了；然后看了一下，知道了答案是什么！

 zip(*matrix) = 矩阵的列转置；

        在Python中，zip(*matrix) 是一种常用的操作，尤其在处理多维数组（如矩阵）时。这里的 matrix 假定是一个二维列表（即列表的列表），用于表示一个矩阵。星号（*）在函数调用中的作用是 unpacking（解包），它将矩阵的每一行作为单独的参数传递给 zip 函数。

    zip 函数的基本功能是将多个可迭代对象（在这个上下文中是矩阵的行）对应位置的元素配对，形成一个元组的迭代器。当应用于二维列表（矩阵）时，zip(*matrix) 的效果是将矩阵的列转置。也就是说，它会把矩阵的每一列元素收集起来，形成新的元组，这些元组组成的迭代器实质上代表了原矩阵的转置。

class Solution:
    def rotate(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
        """
        Do not return anything, modify matrix in-place instead.
        """
        for i in range(len(matrix)):
            for j in range(i, len(matrix[0])):
                matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]
 
        for i in range(len(matrix)):
            matrix[i] = matrix[i][::-1]