高数：无穷小与无穷大_函数趋近无穷大的速度

目录

定义

运算法则

极限准则​

两个重要极限​

无穷小/无穷小

 等价无穷小替换

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定义

无穷小：趋于0包括0本身

f（x）趋近于0，f（x）趋于无穷小

无穷小之间的加减乘，乘以一个常数结果都为无穷小。

无穷小/无穷小不一定为无穷小

无穷大：可以是正无穷也可以是负无穷

无穷大加减除，无穷小乘无穷大，乘以一个常数（不为0）结果不知道

无穷大乘无穷大结果为无穷大。

立理：f（x）无穷大，1/f（x）无穷小

运算法则

两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小和是无穷小（无限个可能为无穷大或常数）

2.有界函数乘无穷小的乘积是无穷小

3.常数乘无穷小结果还是无穷小

4.有限个无穷小的积是无穷小

5.lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x),前提是极限存在

f（x）和g（x）的加减乘除（除的不是0）类似法则

6.常数可以提出来，n次方可以外提

7.如果一个函数f（x）大于g（x），那么f的极限大于g的极限

运算技巧：分母等于0：0/0，无穷

有理分式，同除x的n次方：一般次方越高对函数影响越大，趋于无穷时可以省略其余次方的项

极限准则

夹逼准则（squeeze therom）：

柯西存在：函数收敛的收敛条件

两个重要极限

无sin有tanx，arcsinx，cosx，构造sinx

tanx分成sinx和cosx，再同除x

1-cosx乘1+cosx构造sinx^2

arcsinx：换元x=sint

arcsin（sinx）=x

sinx~tanx~arcsinx~x相互转移

单调有界数列必有极限

 

 1.必须是1 2.符号要为加

无穷小/无穷小

 不同函数趋于0的速度不一，导致无穷小/无穷小的值不同

x->0,limb/a->0,高阶无穷小：b=o（a）（b的阶数更高，更快，）

-> 低阶无穷小

等于常数，同阶

等于1 等架可以替换

eg：limx->0 sinx/x=1 sinx~x(x->0)

limb/a^k 等于常数，k阶无穷小

 

 

 等价无穷小替换

1.x趋于0

2.可以用只替换分子或分母

3.加减不可以替换，乘除可以替换