数学家外尔_数学家 外尔

外尔

张奠宙

(华东师范大学)

　　外尔，H(Weyl，Hermann)1885年11月9日生于德国的埃尔姆斯霍恩；1955年12月8日卒于瑞士苏黎世．数学，数学物理．

　　外尔出生在邻近汉堡的一个小镇上．父亲路德维希(Ludwig)是银行家，母亲安娜(Anna)在家里照料孩子．外尔在乡镇上度过了少年时代，并在阿尔托纳的一所文法中学读书．虽说乡下的孩子往往比较闭塞，见识不广，但外尔在中学时已读过Ⅰ．康德(Kant)的《纯粹理性批判》(Critique of Puve Reason，1781)．他回忆说：“这书立即打动了我的心．”

　　1904年，外尔从这所中学毕业．当时的校长是德国大数学家D．希尔伯特(Hilbert)的表兄弟，遂将外尔介绍到希尔伯特所在的格丁根大学攻读数学．从此，外尔踏上了数学之路，并成为日后希尔伯特的继承人．

　　在格丁根的第一年，外尔读了许多课程．其中包括希尔伯特的课“化圆为方与数的理论”．新世界的门向他打开了．1905年夏天，外尔带着希尔伯特的辉煌作品“数论报告”(Der Zahlbericht)回家去．他回忆说：“整个暑假我在没有初等数论和E．伽罗瓦(Galois)理论这些准备知识的情况下，自己尽力搞懂它．这几个月是我一生中最快乐的几个月，经历了我们共同分担的疑虑和失败的许多岁月之后，它的光辉仍抚慰着我的心灵．”外尔曾这样描述希尔伯特对青年人的影响：“他所吹奏的甜蜜的芦笛声，诱惑了许多老鼠追随他跳入数学的深河”．外尔自己就是这些“老鼠”中的一个．

　　在格丁根读了一年书之后，外尔按惯例要到另一所大学求学一年．他到了慕尼黑大学．1906年重返格丁根．1907年，外尔投入积分方程的研究．一年之后，以“奇异积分方程”(Equtionsintégrales singwlières)的论文获得博士学位．他在格丁根一直呆到1913年．1910年起任无薪讲师(privatdozent)，在讲授函数论等课程的同时，他开拓了新领域“黎曼面”．

　　1913年，外尔和J．海伦(Joseph Helen)结婚．海伦是格丁根大学哲学系的著名才女．他们有两个儿子．其中J．外尔也是数学家．父子曾合著《亚纯函数和解析曲线》(Meromorphicfounctions and analytic curves，1943)．

　　就在结婚的同一年，外尔受聘为位于苏黎世城的瑞士联邦工学院的教授．这时，大物理学家A．爱因斯坦(Einstein)也在那里执教，他们经常交谈．爱因斯坦的物理学新思想给外尔留下了深刻的印象．

　　1915年，正值第一次世界大战，外尔服了一年兵役．1916年重返苏黎世．此后的十余年，是外尔数学创造的全盛时期．外尔在苏黎世的生活是幸福的；他曾说，那时打扰他平静生活的最糟糕的事是外国大学请他去执教的一连串邀请．但是在内心深处，外尔仍然向往格丁根大学，希望回到希尔伯特身边．因为他的“根”在那里，他要到那里摄取营养，获得新的动力．1923年，格丁根大学邀他回去接替退休的F．克莱因(klein)．当时德国政治形势动荡，经济一团糟．外尔踌躇再三，拿着“接受邀请”的电文到电报局，可到了拍发时，又改变了主意，辞谢了邀请．1930年夏天，格丁根大学又邀他回去接替希尔伯特．尽管这时德国政治、经济形势仍然不好，但外尔终于接受了邀请．他写信给老师：“应召作为你的继任，我内心的欣喜和自豪是无法用言词来形容的”．

　　但是外尔在格丁根没有呆很长时间．30年代的德国，法西斯的浊流在到处蠢动，排犹的风潮越演越烈．外尔本人虽不是犹太人，可是他的妻子海伦是半个犹太人．1933年1月，希特勒上台，局势极度动荡，大批犹太科学家离开德国．作为格丁根大学数学研究所的领导人，整个春天和夏天，外尔写信，去会见政府官员，但什么也改变不了．夏日将尽，人亦如云散．外尔去瑞士度假，仍想回德国，希望通过自己的努力来保住格丁根的数学传统．可是美国的朋友极力劝他赶快离开德国：“再不走就太晚了！”美国普林斯顿高级研究院为他提供了一个职位．早在那里的爱因斯坦说服了外尔．从此，他和海伦在大西洋彼岸渡过了后半生．

　　到普林斯顿时，外尔已经48岁，数学家的创造黄金时期已经过去．于是他从“首席小提琴手”转到“指挥”的位置上．他象磁石一样吸引大批数学家来到普林斯顿，用他渊博的知识、深邃的才智给年轻人指引前进的方向．普林斯顿取代格丁根成为世界数学中心，外尔的作用显然是举足轻重的．无数的年轻人怀念外尔对他们的帮助，用最美好的语言颂扬他的为人，其中有一个是中国学者陈省身．1985年，陈省身回忆他和外尔的交往时写道：

　　“我1943年秋由昆明去美国普林斯顿，初次会到外尔．他当然知道我的名字和我的一些工作．我对他是十分崇拜的．……外尔很看重我的工作，他看了我关于高斯(Gauss)-博内(Bonnet)公式的初稿，曾向我道喜．我们有很多的来往，有多次的长谈，开拓了我对数学的看法．历史上是否会再有象外尔这样广博精深的数学家，将是一个有趣的问题．”

　　外尔在美国也继续做一些研究工作．他写的《典型群，其不变式及其表示》 (The classical group，their invariants and repre-sentations，1939)以及《代数数论》(Algebraic theory of numbers，1940)使希尔伯特的不变式理论和数论报告在美国生根开花．他的“半个世纪的数学”(A half-century of mathematics，1951)更成为20世纪上半叶数学的最好总结．他还在凸多面体的刚性和变形(1935)、n维旋量黎曼矩阵、平均运动(1938—1939)、亚纯曲线(1938)、边界层问题(1942)等方面作出贡献．

　　外尔的妻子于1948年逝世．1950年，他又和B．爱伦(Ellen)结婚．外尔在1951年退休，但他在普林斯顿的职位仍然保留着．以后他在普林斯顿和苏黎世两地居住．1954年，外尔在第十二届国际数学家大会上讲话，介绍菲尔兹奖获得者小平邦彦(小平邦彦，Kodaira Kunihiko)和J．P．塞尔(Serre) 的工作．第二年，70寿辰的祝寿活动之后不到一个月，外尔在邮局寄信时突然心脏病发作，于1955年12月8日与世长辞．

　　外尔的著作生前出版过选集．1968年，施普林格(Springer)出版社发行外尔的《论文全集》，(Gesammelte abhandlungen)，包括166篇文章，但不包括他的十几本书．

　　外尔一生的科学工作，可以分为四个时期：格丁根时期(1904—1913)；苏黎世时期(1913—1930)；第二格丁根时期(1930—1933)；普林斯顿时期(1933—1955)．他的数学工作几乎遍及整个数学．其中包括奇异积分方程、微分方程、数学物理方法、希尔伯特空间，吉布斯(Gibbs)现象、狄利克雷原理、模1分布、概周期函数、亚纯曲线变分学等分析课题，凸体的表面的刚性、拓扑学、微分几何中的联络、黎曼面等几何课题，李群的不变量、李群的表示、代数理论、逻辑等代数课题，以及相对论、量子论、哲学、科学史等课题．他的许多工作成为20世纪一系列重要数学成就的出发点．外尔的研究足迹紧紧追随着整个科学的进展，从广义相对论到量子力学，一直在科学的前沿上弄潮．许多人认为，时至今日，通晓整个数学的数学家似乎已经没有了．外尔也许是能做到这一点的最后一人．

　　外尔在格丁根时期的初期研究工作，可以说完全在希尔伯特的影响下进行．他在格丁根的博士论文题目正是希尔伯特当时钟爱的研究课题：积分方程．

　　1910年，外尔在为获得无薪讲师职位发表就职演讲时，作出了他在数学上第一个重要工作：二阶线性微分方程的奇异边界条件．众所周知，经典的斯图姆(Sturm)-刘维尔(Liouville)问题是求解自共轭微分方程

　　　　

　　其中0≤x＜l，p(x)＞0，q(x)为实值函数，解y(x)必须满足下列边界条件：

　　y′(0)－wy(0)=0， (2)

　　y′(l)－hy(l)=0， (3)

　　这里w，h都是实数．这时，人们知道：当λ取一列非负实数λ_n(λ_n→∞)时，方程(1)存在非平凡解．这一数列称为方程的谱，每个λ_n称为方程的特征值(本征值)，相应的解y_n(x)称为特征函数(本征函数)．这时y_n(x)好象sin nx，cos nx一样可以作为正交基，使每个函数可以按y_n(x)展为级数，正象函数关于cos nx和sin nx展为三角级数一样．

　　外尔研究l=+∞的奇异情形．他的想法是令λ取复数值．于是对给定的h，会存在复数w(λ，h)满足边界条件(2)，(3)．当h取遍一切实数值时，点w(λ，h)在某圆C_l(λ)上．此时，外尔看到，当l→+∞时，C_l(λ)(λ固定)形成一族圆，其极限或者是圆或者是一点．这两种情形的出现与λ的选择无关．如果有“极限圆”，那么(1)的解都在[0，＋∞)上平方可积，而在“极限点”情形，(1)只有一个解(差一常数因子)是平方可积的．

　　在后来由冯·诺依曼(von Nenmann)创立的无界对称算子理论中，一个微分算子可以作自伴扩张的充要条件是两个亏指数n₊和n_-相等．外尔在这里提供了斯图姆-刘维尔算子P(x，D)(对称算子)进行自共轭扩张的第一个例子．在a＜x＜b情形，如果a，b分别趋于0和∞时都是极限点型，则n₊=n_-=0．算子P(x，D)已经是自伴的．如果0和∞分别是极限圆型和极限点型，则n₊=n_-=1，其自伴扩张用一个边界条件得出．若二者都是极限圆型，则n₊=n_-=2，算子P(x，D)可用两个边界条件决定其自伴扩张．本世纪偏微分算子理论的长足进展，外尔的这一结果可说是其先驱．

　　外尔并没有停留在自伴扩张问题上．他将关于与离散谱λ_n相应的特征函数y_n(x)的级数展开，推广到连续谱λ的特征函数y_λ(x)的积分展开，从而为卡莱曼(T．Carleman)积分算子理论开辟了道路．更引人注目的是外尔对大物理学家H．A．洛伦兹(Lourentz)1910所提问题的回答．1910年，洛伦兹在格丁根讲演时提到，能否由听鼓声推知鼓的形状？这等于由一个椭圆方程△u+λu=0的本征值λ_n　(即鼓膜振动的自然频率)来确定鼓膜形状．外尔研究了更一般的问题，提出了在希尔伯特空间H上的紧自伴算子特征值的直接计算方法(即不必先求出λ₁，…，λ_n-1再来计算λ_n)，后人称之为“极大极小方法”，这套本征展开理论，为洛伦兹问题的解决提供了钥匙．人们要求知道当λ很大时，小于λ的特征值的个数N(λ)，其中

　

　　v是本征频率，v是波在鼓膜中的传播速度．外尔证明了

　

　　这里A是鼓膜的面积．这恰好证实了洛伦兹的猜想：频率在v和dv之间的充分高的谐波数目与边界的形态无关，仅和它围成的面积成正比．

　　这项工作相当漂亮．1954年5月，外尔在洛桑作演讲．当他回忆这段往事时，写了如下的话：

　　“这个问题的结论虽然在前些时候已被物理学家猜想到．然而对大多数数学家来说，这一结果似乎是在很遥远的将来才能作出证明的．当我狂热般地作出证明时，我的煤油灯已开始冒烟．我刚完成其证明．厚厚的煤烟灰就象雨一样从天花板上落到我的纸上、手上和脸上了．”

　　这套“听音辨鼓”的理论近几年又出现新的高潮，现在有了更精确的估计，甚至可以决定表示鼓上孔的数目的拓扑参数．将平面鼓膜推广到高维的流形上去，仍是成为许多人追逐的课题．

　　外尔在追随希尔伯特研究积分方程和微分方程之后，从1911到1912年开辟了自己的新研究方向：黎曼面．这时，外尔在格丁根大学讲授函数论课程．复值多值函数依靠黎曼
曼面的构造一直依靠直观想象，并用自然语言加以描述．外尔一面授课，一面构思严格的黎曼面理论．年仅26岁的外尔爆出了天才的火花．他将黎曼面R看成被R中各点的邻域U所覆盖，而每一邻域U又附以从U到复平面的映射ψu．外尔把所有由(U，ψu)构成的全体记作．如果满足(1)中所有U的并集即是R，(2)当V=U₁∩U₂非空上区域ψu2(V)到复平面区域ψu₁(V)的复变函数．我们假)看作黎曼面．在20世纪数学史上，外尔的这一想法是划时代的(上面的叙述已采用现在常用的形式)．首先，他采用了邻域思想，无疑为点集拓扑学的出现催生．其次，黎曼面用现在的眼光来看乃是复一维流形．在20世纪大放异采的复流形理论即导源于此．第三，外尔指出，黎曼面的深入研究，“不只是使解析函数的多值性直观化的手段，而且是这个理论的本质部分，是解析函数能在其上生长和繁荣的唯一土壤”．它开创了现代函数论．第四，黎曼面的亏格、分类等导向同调和同伦论，为代数拓扑的诞生指引了方向．外尔这一工作，几乎影响了20世纪的整个纯粹数学．1913年《黎曼面的观念》(Die Idee der Riema-nnschen Flche)出版．从中人们可以看到希尔伯特的邻域公理化方法，L．E．J．布劳韦尔(Brouwer)使用的单纯形方法，H·庞加莱(Poincare)的基本群观念以及曲面的指向等严格理论．

　　外尔结束了格丁根大学的函数论教学工作．

　　外尔在苏黎世时期(1913—1930)的工作是极其辉煌的．他在1914年完成了关于模1等分布的研究，人们将它看作解析数论的新篇章．这一工作的发表因第一次大战而推迟到1916年．

　　所谓实数列｛x_n｝以模1等分布，是指x_n　的小数部分y_n均匀地分布在［0，1］内，即对任何［0，1］的β，n)是指前n个实数x₁，…，x_n　的小数部分y₁，…，y_n落在［α，β］中的个数．｛x_n｝模1等分布也可用积分描述为：对任何在[0，1]上有界的黎曼可积函数f(x)，有

　

　　这就使我们能用分析工具来研究数论问题．但是使外尔最值得骄傲的是下列基本定理：

　　｛x_n｝模1等分布的充要条件是：对任何非零整数h，当N→∞时

　

　　由此可以推出，若P(x)是首系数为无理数的多项式，则p(n)是等分布的．若θ是无理数，则实数列{nθ}是等分布的(这结果早些时候为P．博尔(Bohl)等数学家用纯算术方法得到过)．这一基本定理的证明借助于对多项式指数和的一项估计，现称为外尔不等式．多项式指数和与调和分析紧密相连，而外尔在研究微分算子谱论时成天与调和分析打交道，因而他从分析学转向数论研究乃是顺理成章的．多项式指数和问题与E．华林(Waring)问题(任何正整数k，总存在g(k)，使k可表示为S(≥g(k)个k次幂之和)及ζ函数的黎曼猜想(ζ函数的非显然零点全部都在直线Res=1／2上)等密切相关．这一工作后来为苏联的И．M．维诺格拉多夫所改进，用于堆垒素数论．我国的华罗庚及其学生们在这一方向上有突出的贡献．

　　1916年，当外尔从兵营回到工学院讲台时，爱因斯坦的广义相对论问世不久，一场物理学研究的浪潮席卷全球．外尔毫不犹豫地投身其中．1916到1917年，他在苏黎世的联邦工学院讲授相对论课程时，力图把哲学思想、数学方法以及物理学理论结合起来，用自己的思想清晰而严格地阐述广义相对论．讲稿在1918年以《空间、时间、物质》(Raum、Zeit、Malerie)的书名正式出版，五年之内再版五次，成为年轻人的心爱之物．大物理学家W．K．海森伯(Heisenberg)等都从此书中得到教益．

　　1917—1919这几年间，外尔在几何学与物理学上作出了巨大贡献．他受到爱因斯坦在广义相对论中研究引力场的鼓舞，企图提出一种既包括引力又包括电磁力的几何理论，即通过发展几何学来完成“统一场论”的构想．虽然“统一场论”经过努力(包括爱因斯坦本人的努力)至今仍未建立起来，但是外尔一系列的研究成果却深刻地影响着当代物理学的进展．

　　外尔首先对作为相对论数学框架的黎曼几何加以改造和扩展．黎曼几何依赖于一种度量，它是微分二次型：

　

　　曲率就依这一度量而确定．爱因斯坦的引力理论依赖于二次型，而电磁理论只依赖于一次型．外尔根据前人结果已看到曲率可以通过向量的平行移动而得到．在特殊情形下，这是容易理解的∶a，b是直线l上两点，a处向量P_a沿l平行移动到b处为P_b，此时P_a与l的夹角等于P_b与l的夹角，P_a沿l且保持与l夹角不变的移动称为平行移动．Pa沿l平行移动到b再平行移动回到a，夹角一直不动，夹角变化量为0，所以直线的曲率也是零．在半径为r的球面上一点a处有一向量P_a与过a的大圆l夹角为θ，当P_a沿大圆(测地线)作保持夹角不变的移动(平行移动)转一圈回到a时，向量P_a实际上转了一圈，增加了2π的幅角，

　　在黎曼几何中，曲线xⁱ＝xⁱ(t)，i=1，2，…，n(t₁≤t≤t₂)的长度S由积分表出：

　

　　这里g_ij是度量张量的共变分量．使这积分取得极值的曲线，即测地线满足方程

　　　

　　一个向量场v^h(t)，如满足

　

　　则定义为v^h(t)与曲线x^h=x^h(t)平行．由此可以看出：测地线的切

　　外尔注意到上面的平行定义与度量张量g_ij　没有直接关系，只与克里

　

　　时称v^h(t)与x^h(t)平行．

　　这样一来，黎曼几何就从度量束缚中解脱出来，而由一组函数向量(ξⁱ　)与邻近的点(xⁱ　+dxⁱ　)的平行向量(ξⁱ　+dξⁱ　)之间的关系为：

　　为仿射联络．这种空间称为仿射联络空间，黎曼空间只是其中的一个特例．外尔的这一思想无疑是稍后的E．嘉当(Cartan)的一般联络理论的源头．联络概念已构成现代微分几何的基础，其意义之重大正如分析学中的微分概念．

　　1918年，外尔发表了著名的论述统一场论的论文．他写道：“如果黎曼几何要与自然相一致，那么它的发展所必须基于的基本概念应是向量的无穷小平行移动…．但是一个真正的无穷小几何必须只承认长度从一点到它无限靠近的另一点作转移的这一原则．这就禁止我们去假定在一段有限距离内长度从一点转移到另一点的问题是可积的．…一种几何产生了”．这样，外尔的不可积标量因子的想法就产生了．电磁学在概念上可纳入一个不可积量因子的几何想法之中：电磁场依赖于一次型
加到dφ将不改变理论的物理内容，由此得到

　

　　有不变意义，F_μv　可看成等同于电磁场，其中φ_v　=常数·A_μ　，A_μ　是电磁势．

　　该理论在变换dφ→dφ+d(log λ)下的不变性，即今天称为“规范不变性”的最早形式．

　　爱因斯坦对外尔的论文预印本十分关注，但后来明确表示反对这篇文章．结果爱因斯坦的意见作为按语加在外尔文章的后面，外尔又写了一个回答附在末尾．

　　爱因斯坦的异议是说，不可积标度因子理论如果正确，那么从0出发的两条路径，由于标度的连续变化，一般将会有不同大小，因而两个钟快慢将会不同，时钟依赖于每个人的历史，那就没有客观规律，也就没有物理学了．外尔对此作了回答，但未能消除爱因斯坦的异议．1949年，外尔回忆当时的心情说：“在苏黎世的一只孤独的狼——外尔，……很不幸，他太易把他的数学与物理的和哲学的推测混在一起了．”

　　1929年，外尔又回到这一课题．由于量子力学的推动，福克(Fock)和F．W．伦敦(London)在1927年指出：外尔的不可积标度因子应当是一个不可积的“相”因子．外尔在1929年的文章中写道：我曾经希望规范不变原理将引力和磁力统一起来而未获支持，但这一原理在量子论的场方程中有一个形式上的等价物，

　　一不变性和电荷守恒定律的关系仍与先前一样．…规范不变性原理具有广义相对论的特征…．外尔的这些观点对后世有许多影响，不可积“相”因子消除了爱因斯坦异议，并由实验证实．不过“统一场论”始终未完成．外尔对自己的研究一直注视着，直到去世前几个月，他在将1918年的规范理论的论文收入他自己的《论文全集》时，在“跋”中写了下列的话：

　　“我的理论最强的证据似乎是这样的：就像坐标不变性保持能量动量守恒一样，规范不变性保持了电荷守恒．”

　　外尔的规范理论启发了杨振宁：可以把规范理论从电磁学推广出去．这就产生了杨振宁-米尔斯(Miles)在1954年提出的非交换规范场理论．这一规范场理论在粒子物理中显示了强大的生命力，可惜那时外尔已退休，未曾注意及之．

　　外尔的数学研究总是和当代的物理学最新成就联系在一起．当1925—1926年量子力学刚刚产生的时候，外尔深入地从事李群及其表示的研究，并在1927年把这项研究与量子力学结合起来．1928年，名著《群论和量子力学》(Gruppentheorie und Quanten-mechanik)出版．差不多每一位在1935年之前出生的理论物理学家，都会在自己的书架上放上这本书．不过，几乎没有人去读它．对物理学家来说，这本书太抽象了．

　　1930年，在该书德文新版的前言中，外尔写道：

　　“质子和电子的基本问题已经用其与量子定律的对称性性质的关系来讨论了，而这些性质是与左和右、过去和将来以及正电和负电的互换有关．”

　　这里的左和右是指宇称守恒(P)，过去和将来是指时间反演不变(T)，正电和负电是指电荷共轭不变性(C)．诺贝尔物理奖获得者杨振宁博士曾评论说：“在1930年，没有人，绝对没有人以任何方式猜想这些对称性是彼此相关的，仅仅在50年代人们才发现他们之间的深刻联系．”

　　外尔非常喜欢对称，在1952年写过《对称》(Symmetry)的精美小书．也许因为太醉心于对称，他抛弃了自己提出的不满足左右对称的二分量中微子理论(1929)．28年以后的1957年，杨振宁和李政道发现了宇称不守恒，并由吴健雄等用实验证实．外尔的二分量中微子理论也得到重新肯定．这时外尔去世已经两年，人们无法听到这位理论物理先驱的评论了．

　　让我们再回到数学上来．外尔在本世纪20年代从事李群和李代数及其表示的研究，可说是外尔数学生涯中最光辉的篇章．

　　本世纪初，G．F．弗罗贝尼乌斯(Frobenius)和I．舒尔(Schur)等已完成复n阶方阵构成的一般线性群GL(n，c)的不可约有理线性表示的工作．由此可知行列式为1的特殊线性群SL(n，c)的所有有理线性表示是完全可约的．1913年，嘉当独立地完成单复李代数不可约线性表示的工作，并指出有限维半单李代数是完全可约的．

　　外尔创立一种新的方法，将注意力集中于大范围李群，仅把李代数作为一种工具．1897年A．胡尔维茨(Hurwitz)指出了一种对正交群或酉群构作不变量的途径：只须将有限群中普通的平均求和代之以紧群上关于不变测度的积分，他不仅研究特殊酉群SU(n)的不变量(韦尔称之为酉技巧)，而且处理了特殊线性群SL(n，c)的不变量问题．舒尔于1924年借助在SU(n)作用下该群的任何表示空间中一种对称数量积不变量的存在性，证明SU(n)的完全可约性，他又用酉技巧证明了SL(n，c)连续线性表示的完全可约性和SU(n)的特征标的正交关系．

　　从这些结果出发，外尔首先指出舒尔和嘉当的两种表示之间的联系，说明二者能一一对应的原因在于SU(n)是单连通的．其次他研究了正交群的双叶覆盖群的存在性．最后，外尔转入半单李群大范围理论的研究．这一工作之深刻令人叹为观止．

　　外尔首先指出，酉技巧不仅在典型群上有用．他证明，每个半单复李代数，可从一个紧李群的实李代数_u　经过复化(com-plexification)而得到．嘉当曾逐类讨论过这一问题，外尔则用半单代数的根代数性质很快得出．这样，外尔建立了和_u　的线性表示之间的联系．但是要用酉技巧，还必须证明确实存在以_u　为李代数的紧李群G_u　，而且是单连通的．为了绕过这个困难，外尔证明了紧群G_u　的通用覆盖群也是紧的．可以说这一结果是外尔论文中最深刻最有活力的核心．

　　这一结果可以有极好的几何解释，因而有外尔“房”和外尔“墙”的概念产生．韦尔证明：G_u　的基本群是有限群，因而G_n　是紧群．极大环面T在G_u　中的作用和对角线矩阵群在SU(n)中的作用相似，即每个G_u　中元素是T中一个元素的共轭．G_u　的特征标的正交关系是重要工具．外尔最终提出一个大胆的想法：由“分解”G_u　的无限维线性表示来求得半单群的所有不可约表示．

　　李群的研究和群上调和分析紧密相连．他考虑G_u　上复值连续函数全体F．若按群G_u　上的不变测度定义积分，则F上可定义卷积

　

　　F于是构成群代数．如果考察算子R(f)∶g→f*g，则R(f)是紧的自伴算子，于是就可以用紧算子的谱分解理论加以研究了．更一般地，外尔研究了不变内积．他证明：n维线性空间V上的一般线性群GL(V)中的紧子群G，V上必存在关于G的不变内积：

　

　　利用这一定理，可直接决定所有紧复连通李群．即连通复紧李群必可交换，因此是复环面．外尔还得到：紧李群的李代数必具有不变内积(紧李代数)．

　　外尔的研究都有强烈的背景，丰富的思想和高度的技巧．他用自己的成果开辟了20世纪纯粹数学的新天地，并且表明“抽象”方法和传统的“硬”分析方法完全可以相比美．

　　作为希尔伯特的继承者，外尔确实发扬了希尔伯特的传统，且注入了时代精神．微分算子理论、模1等分布论、仿射联络理论、连续群论都可以在希尔伯特的积分方程、数论、代数不变量、物理学研究等研究中找到渊源，而相对论、量子力学、拓扑学方法、代数拓扑工具等则使他发展并超越了希尔伯特的范围．他们师生二人，可以说代表了20世纪上半叶的数学．

　　然而，他们两人并非完全一致．在数学基础上，外尔拥护布劳韦尔的直觉主义，不承认实无限，不准滥用排中律，不愿用选择公理．他的全部工作确实没有用G．康托尔(Cantor)的超限数理论，而且说康托尔的那一套是“雾中之雾”．外尔把布劳韦尔的观点介绍给希尔伯特，希尔伯特却极力反对直觉主义．希尔伯特倡导“形式主义”，企图证明包含自然数系统的数学体系是无矛盾的和相容的．但是希尔伯特也小心翼翼地把有限步可以达到的结论认为是最可靠的，所以外尔说希尔伯特“从布劳韦尔的直觉主义的启示中获益非浅．”1931年，K．哥德尔(Gdel)击破了希尔伯特的梦想．外尔平静地和希尔伯特讨论事情的前因后果，尽管两人的意见并未统一．

　　1932年，希尔伯特70寿辰．外尔写了生日祝辞，表达了他对恩师的崇敬与深情．1943年希尔伯特去世．外尔在《美国数学会公报》(Bulletin of American Mathematical Society，50，pp·612—654，1944)上发表了“大卫·希尔伯特及其数学工作”(DavidHilbert and his mathematical work)的长篇纪念文章(中译本见《数学史译文集》，上海科学技术出版社，1981)．

　　外尔在美国继续做过一些研究工作，例如凸体表面的刚性与形变(1935)，n维的旋量、平均运动(1938—1939)、亚纯曲线(1938)、边界层问题(1942)等．作为20世纪前半叶数学发展的见证人，他对克莱因、希尔伯特、诺特等大数学家的记述和评论，具有很高的历史价值．1950年，外尔在《美国数学月刊》(Monthly AMS)发表论文“半个世纪的数学”，是一篇极好的学术总结(中译本见《数学史译文集续集》，上海科学技术出版社，1985)．

　　最后，我们应当提到外尔的哲学研究．外尔对哲学终生不渝．他早年追随过康德哲学，后来受E．胡塞尔(Husserl)的影响很深．他的《空间、时间、物质》就是一部物理学、哲学和数学相结合的著作．他在哲学方面主要作品是《数学和自然科学的哲学》(Philosophie der Mathematik und Wissenschaften，1927)．书中的数学部分包括数理逻辑、公理学、数及连续统、无穷，以及几何学共三章，自然科学部分有空间时间与先验的外在世界、方法论以及世界的物理图景，也是三章．书中引用了一百多位哲学家、数学家和自然科学家的原著，对整个问题作了详尽而清楚的阐述．

　　在数学哲学方面，外尔早在1910年就写过论文“关于数学概念的定义”(ber die Definitionen der mathematischen Grundbe-griffe)．他将数学看作“一棵自豪的树，它自由地将枝头长入稀薄的空气，同时又从直觉的大地和真实的摹写中吸取力量”．在同一文章中，外尔认为“连续统的势的问题，必须从严密地建立集合论原理的途径去解决”．到了1918年，他出版了《连续统》(Das Ko-ntinuum)一书，成为一场集合论争辩的导火线之一．

　　进入20年代，外尔站在布劳韦尔一边，赞成直觉主义，反对希尔伯特倡导的形式主义．这在前面已经有所提及．但是外尔在晚年似乎力图调和这两方面的冲突．“数学中的公理方法与构造程序”(Axiomatic versus constructive procedures in mathematics)是外尔用英文写的遗作，大约写于1953年以后，1985年才公诸于世(The Mathematical Intelligencer vol．7，No．4)．文中说：“现代数学研究的大部分建立在构造程序和公理方法的巧妙结合之上．”例如他从域公理出发，用1a记α，2a记1α+α，3α记2α+α，如此继续，就得出α的倍数vα，即自然数全体．然后看是否有v使vα=0，表明域的特征数为有限(质数)或∞．

　　外尔曾设想，数学证明必须是一步一步地可被人的直觉检验的程序．现在四色问题的计算机证明已突破了外尔的要求，但是构造主义观点却由于计算机的发展而倍受重视．外尔说过：“哲学的反思伴随着历史的反思．”数学基础正以新的形式继续着争辩．尽管外尔的“调和”并未得到公认，可是历史也许会再次注意他的数学哲学观点．

　　外尔逝世已经40年了，但是整个国际数学界仍然时刻感到他的存在．他所创立的深刻数学思想至今还在起着指路灯的作用．他的工作一定会影响到下一个世纪．