机器学习实战——第八章（回归）：回归——预测数值型数据_text(0, 0.5, '预测值')

前言

接着上一篇继续学习。
首先感谢博主：Jack-Cui
主页：http://blog.csdn.net/c406495762
回归博文地址：https://blog.csdn.net/c406495762/article/details/78760239
https://blog.csdn.net/c406495762/article/details/82967529
这篇博文对书上的内容很形象的进行了表达，通俗易懂，用自己的实例来进行讲解，比书上讲的清楚太多，于是我才开始了学习，感激不尽，真心推荐。
我这篇博文大多从它的博文中摘抄，但也是我一个字一个敲出来的，算法我也是自己算过的，算是学完它的博文的一个总结吧，如果还看不明白的可以直接看他的吧。
明天我会继续按照它的博客学习。
进入正题。

什么是回归

• 回归的目的就是预测数值型的目标值
• 最直接的方法是 依据输入写出一个目标值的计算公式

比如直线方程y=w*x+b，这也是一个回归方程，其中w就是回归系数，求解这些回归系数的过程就是回归。

一旦有了这些回归系数，再给定输入，做预测就非常容易了。
具体做法就是用回归系数乘以输入值，再将结果全部加载一起，就得到了预测值。

揭开回归的神秘面纱

用线性回归找到最佳拟合直线

应该怎么从一大堆数据里求出回归方程呢？假定输入数据存放在矩阵X中，结果存放在向量y中：

而回归系存放在向量w中：

那么对于给定的数据x1，即矩阵X的第一列数据，预测结果u1将会通过如下公式给出：

现在的问题是，手里有数据矩阵X和对应的标签向量y，怎么才能找到w呢？

一个常用的方法就是找出使误差最小的w。

这里的误差是指预测u值和真实y值之间的差值，使用该误差的简单累加将使得正差值和负差值相互抵消，所以我们采用平方误差。

平方误差和可以这样写：

这样我们就可以通过初始设定w的值，来获得初始预测u的值，然后计算与真实值的误差，再通过计算使得误差最小的w，来获得下次迭代更小的误差，那问题就是w怎样计算才能使得平方误差和最小呢？

平方误差和用矩阵还可以表示为：

为啥能这么变化，记住一个前提：若x为向量，则默认x为列向量，x^T为行向量。将上述提到的数据矩阵X和标签向量y带进去，就知道为何这么变化了。

在继续推导之前，我们要先明确一个目的：找到w，使平方误差和最小。因为我们认为平方误差和越小，说明线性回归拟合效果越好。

现在，我们用矩阵表示的平方误差和对w进行求导：

令上述公式等于0，得到求解w的公式：

这个式子表示是当前可以估计出的w的最优解。这样我们就可以从最初始w的值，计算预测u的值，然后计算误差，再通过上式计算一轮新的w值，然后再预测u的值，再计算误差…如此迭代（这样的迭代求最优解一般用在梯度下降或上升算法里）。如果训练集可以直接用上式得到最优解，那么他将不需要迭代，直接与输入训练集相乘即可得到预测值。

**w上方的小标记表示，这是当前可以估计出的w的最优解。**从现有数据上估计出的w可能并不是数据中的真实w值，所以这里使用了一个"帽"符号来表示它仅是w的一个最佳估计。

值得注意的是，上述公式中包含逆矩阵，也就是说，这个方程只在逆矩阵存在的时候使用，也即是这个矩阵是一个方阵，并且其行列式不为0。

述的最佳w求解是统计学中的常见问题，除了矩阵方法外还有很多其他方法可以解决。通过调用NumPy库里的矩阵方法，我们可以仅使用几行代码就完成所需功能。该方法也称作OLS， 意思是“普通小二乘法”（ordinary least squares）。

接下来，让我们根据上文中推导的回归系数计算方法，求出回归系数向量，并根据回归系数向量绘制回归曲线，编写代码如下：

# -*- coding:utf-8 -*-
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def loadDataSet(fileName):
    """
    函数说明:加载数据
    Parameters:
        fileName - 文件名
    Returns:
        xArr - x数据集
        yArr - y数据集
    Website:
        http://www.cuijiahua.com/
    Modify:
        2017-11-12
    """
    numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1
    xArr = []; yArr = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr =[]
        curLine = line.strip().split('\t')
        for i in range(numFeat):
            lineArr.append(float(curLine[i]))
        xArr.append(lineArr)
        yArr.append(float(curLine[-1]))
    return xArr, yArr

def standRegres(xArr,yArr):
    """
    函数说明:计算回归系数w
    Parameters:
        xArr - x数据集
        yArr - y数据集
    Returns:
        ws - 回归系数
    Website:
        http://www.cuijiahua.com/
    Modify:
        2017-11-12
    """
    xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T
    xTx = xMat.T * xMat                            #根据文中推导的公示计算回归系数
    if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
        print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆")
        return
    ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)
    return ws

def plotRegression():
    """
    函数说明:绘制回归曲线和数据点
    Parameters:
        无
    Returns:
        无
    Website:
        http://www.cuijiahua.com/
    Modify:
        2017-11-12
    """
    xArr, yArr = loadDataSet('ex0.txt')                                    #加载数据集
    ws = standRegres(xArr, yArr)                                        #计算回归系数
    xMat = np.mat(xArr)                                                    #创建xMat矩阵
    yMat = np.mat(yArr)                                                    #创建yMat矩阵
    xCopy = xMat.copy()                                                    #深拷贝xMat矩阵
    xCopy.sort(0)                                                        #排序
    yHat = xCopy * ws                                                     #计算对应的y值
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)                                            #添加subplot
    ax.plot(xCopy[:, 1], yHat, c = 'red')                                #绘制回归曲线
    ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], yMat.flatten().A[0], s = 20, c = 'blue',alpha = .5)                #绘制样本点
    plt.title('DataSet')                                                #绘制title
    plt.xlabel('X')
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    plotRegression()
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结果如下：

如何判断拟合曲线的拟合效果的如何呢？当然，我们可以根据自己的经验进行观察，除此之外，我们还可以使用corrcoef方法，来比较预测值和真实值的相关性。

加入这段代码:

#使用corrcoef方法，来比较预测值和真实值的相关性
def test():
    xArr, yArr = loadDataSet('ex0.txt')                                    #加载数据集
    ws = standRegres(xArr, yArr)                                        #计算回归系数
    xMat = np.mat(xArr)                                                    #创建xMat矩阵
    yMat = np.mat(yArr)                                                    #创建yMat矩阵
    yHat = xMat * ws
    print(np.corrcoef(yHat.T, yMat)
if __name__ == '__main__':
    test()
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结果如下：

可以看到，对角线上的数据是1.0，因为yMat和自己的匹配是完美的，而YHat和yMat的相关系数为0.98。

最佳拟合直线方法将数据视为直线进行建模，具有十分不错的表现。数据当中似乎还存在其他的潜在模式。那么如何才能利用这些模式呢？我们可以根据数据来局部调整预测，下面就会介绍这种方法。

局部加权线性回归

线性回归的一个问题是有可能出现欠拟合现象，因为它求的是具有小均方误差的无偏估计。显而易见，如果模型出现欠拟合，将不能取得好的预测效果。所以有些方法允许在估计中引入一些偏差，从而降低预测的均方误差。

其中的一个方法是局部加权线性回归（Locally Weighted Linear Regression，LWLR）。在该方法中，我们给待预测点附近的每个点赋予一定的权重。与kNN一样，这种算法每次预测均需要事先选取出对应的数据子集。该算法解除回归系数W的形式如下：

其中W是一个矩阵，这个公式跟上面推导的公式的区别就在于W，它用来给每个点赋予权重。

局部加权线性回归使用“核”（与支持向量机中的核类似）来对附近的点赋予更高的权重。

核的类型可以自由选择，最常用的核就是高斯核，高斯核对应的权重如下：

这样我们就可以根据上述公式，编写局部加权线性回归，我们通过改变k的值，可以调节回归效果，编写代码如下：

# -*- coding:utf-8 -*-
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

"""
函数说明:加载数据
Parameters:
    fileName - 文件名
Returns:
    xArr - x数据集
    yArr - y数据集
"""
def loadDataSet(fileName):
    numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1
    xArr = []; yArr = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr =[]
        curLine = line.strip().split('\t')
        for i in range(numFeat):
            lineArr.append(float(curLine[i]))
        xArr.append(lineArr)
        yArr.append(float(curLine[-1]))
    return xArr, yArr
"""
    函数说明:绘制多条局部加权回归曲线
"""
def plotlwlrRegression():
    font = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc", size=14)
    xArr, yArr = loadDataSet('ex0.txt')                                    #加载数据集
    yHat_1 = lwlrTest(xArr, xArr, yArr, 1.0)                            #核k=1.0时，根据局部加权线性回归计算yHat
    yHat_2 = lwlrTest(xArr, xArr, yArr, 0.01)                           #核k=0.01时，根据局部加权线性回归计算yHat
    yHat_3 = lwlrTest(xArr, xArr, yArr, 0.003)                          #核k=0.003时，根据局部加权线性回归计算yHat
    xMat = np.mat(xArr)                                                    #创建xMat矩阵
    yMat = np.mat(yArr)                                                    #创建yMat矩阵
    srtInd = xMat[:, 1].argsort(0)                                        #排序，返回索引值
    xSort = xMat[srtInd][:,0,:]
    fig, axs = plt.subplots(nrows=3, ncols=1,sharex=False, sharey=False, figsize=(10,8))
    axs[0].plot(xSort[:, 1], yHat_1[srtInd], c = 'red')                        #绘制回归曲线
    axs[1].plot(xSort[:, 1], yHat_2[srtInd], c = 'red')                        #绘制回归曲线
    axs[2].plot(xSort[:, 1], yHat_3[srtInd], c = 'red')                        #绘制回归曲线
    axs[0].scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], yMat.flatten().A[0], s = 20, c = 'blue', alpha = .5)                #绘制样本点
    axs[1].scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], yMat.flatten().A[0], s = 20, c = 'blue', alpha = .5)                #绘制样本点
    axs[2].scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], yMat.flatten().A[0], s = 20, c = 'blue', alpha = .5)                #绘制样本点
    #设置标题,x轴label,y轴label
    axs0_title_text = axs[0].set_title(u'局部加权回归曲线,k=1.0',FontProperties=font)
    axs1_title_text = axs[1].set_title(u'局部加权回归曲线,k=0.01',FontProperties=font)
    axs2_title_text = axs[2].set_title(u'局部加权回归曲线,k=0.003',FontProperties=font)
    plt.setp(axs0_title_text, size=8, weight='bold', color='red')
    plt.setp(axs1_title_text, size=8, weight='bold', color='red')
    plt.setp(axs2_title_text, size=8, weight='bold', color='red')
    plt.xlabel('X')
    plt.show()

"""
函数说明:使用局部加权线性回归计算回归系数w
Parameters:
    testPoint - 测试样本点
    xArr - x数据集
    yArr - y数据集
    k - 高斯核的k,自定义参数
Returns:
    ws - 回归系数
"""
def lwlr(testPoint, xArr, yArr, k = 1.0):
    xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T
    m = np.shape(xMat)[0]
    weights = np.mat(np.eye((m)))                                        #创建权重对角矩阵，200行
    for j in range(m):                                                  #遍历数据集计算每个样本的权重
        diffMat = testPoint - xMat[j, :]
        weights[j, j] = np.exp(diffMat * diffMat.T/(-2.0 * k**2))
    xTx = xMat.T * (weights * xMat) #按照公式进行计算
    if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
        print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆")
        return
    ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))                            #计算回归系数
    return testPoint * ws

"""
函数说明:局部加权线性回归测试
Parameters:
    testArr - 测试数据集
    xArr - x数据集
    yArr - y数据集
    k - 高斯核的k,自定义参数
Returns:
    ws - 回归系数
"""
def lwlrTest(testArr, xArr, yArr, k=1.0):
    m = np.shape(testArr)[0]                                            #计算测试数据集大小,200行
    #print(m)
    yHat = np.zeros(m)
    for i in range(m):                                                    #对每个样本点进行预测
        yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)#第一个参数testArr[i]表示训练集中的每一行，每次拿一个样本进行预测
    return yHat


if __name__ == '__main__':
    plotlwlrRegression()
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运行结果如下：

从结果可以看出，当核k越小，拟合效果越好。

但是当k过小，会出现过拟合的情况，例如k等于0.003的时候。

预测鲍鱼年龄

数据集是多维的，我们很难画出它的分布情况。

每个维度数据的代表的含义没有给出，不过没有关系，我们只要知道最后一列的数据是y值就可以了，最后一列代表的是鲍鱼的真实年龄，前面几列的数据是一些鲍鱼的特征，例如鲍鱼壳的层数等。

我们不做数据清理，直接用上所有特征，测试下我们的局部加权回归。

代码：

# -*- coding:utf-8 -*-
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

"""
函数说明:加载数据
Parameters:
    fileName - 文件名
Returns:
    xArr - x数据集
    yArr - y数据集
"""
def loadDataSet(fileName):

    numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1
    xArr = []; yArr = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr =[]
        curLine = line.strip().split('\t')
        for i in range(numFeat):
            lineArr.append(float(curLine[i]))
        xArr.append(lineArr)
        yArr.append(float(curLine[-1]))
    return xArr, yArr

"""
函数说明:使用局部加权线性回归计算回归系数w
Parameters:
    testPoint - 测试样本点
    xArr - x数据集
    yArr - y数据集
    k - 高斯核的k,自定义参数
Returns:
    ws - 回归系数
"""
def lwlr(testPoint, xArr, yArr, k = 1.0):
    xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T
    m = np.shape(xMat)[0]
    weights = np.mat(np.eye((m)))                                        #创建权重对角矩阵
    for j in range(m):                                                  #遍历数据集计算每个样本的权重
        diffMat = testPoint - xMat[j, :]
        weights[j, j] = np.exp(diffMat * diffMat.T/(-2.0 * k**2))
    xTx = xMat.T * (weights * xMat)
    if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
        print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆")
        return
    ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))                            #计算回归系数
    return testPoint * ws

"""
函数说明:局部加权线性回归测试
Parameters:
    testArr - 测试数据集,测试集
    xArr - x数据集,训练集
    yArr - y数据集,训练集
    k - 高斯核的k,自定义参数
Returns:
    ws - 回归系数
"""
def lwlrTest(testArr, xArr, yArr, k=1.0):
    m = np.shape(testArr)[0]                                            #计算测试数据集大小
    yHat = np.zeros(m)
    for i in range(m):                                                    #对每个样本点进行预测
        yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)
    return yHat

"""
函数说明:计算回归系数w
Parameters:
    xArr - x数据集
    yArr - y数据集
Returns:
    ws - 回归系数
"""
def standRegres(xArr,yArr):
    xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T
    xTx = xMat.T * xMat                            #根据文中推导的公示计算回归系数
    if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
        print("矩阵为奇异矩阵,不能求逆")
        return
    ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)
    return ws

"""
误差大小评价函数
Parameters:
    yArr - 真实数据
    yHatArr - 预测数据
Returns:
    误差大小(平方误差和)
"""
def rssError(yArr, yHatArr):
    return ((yArr - yHatArr) **2).sum()


if __name__ == '__main__':
    abX, abY = loadDataSet('abalone.txt')
    print('训练集与测试集相同:局部加权线性回归,核k的大小对预测的影响:')
    yHat01 = lwlrTest(abX[0:99], abX[0:99], abY[0:99], 0.1)
    yHat1 = lwlrTest(abX[0:99], abX[0:99], abY[0:99], 1)
    yHat10 = lwlrTest(abX[0:99], abX[0:99], abY[0:99], 10)
    print('k=0.1时,误差大小为:',rssError(abY[0:99], yHat01.T))
    print('k=1  时,误差大小为:',rssError(abY[0:99], yHat1.T))
    print('k=10 时,误差大小为:',rssError(abY[0:99], yHat10.T))
    print('')
    print('训练集与测试集不同:局部加权线性回归,核k的大小是越小越好吗？更换数据集,测试结果如下:')
    yHat01 = lwlrTest(abX[100:199], abX[0:99], abY[0:99], 0.1)
    yHat1 = lwlrTest(abX[100:199], abX[0:99], abY[0:99], 1)
    yHat10 = lwlrTest(abX[100:199], abX[0:99], abY[0:99], 10)
    print('k=0.1时,误差大小为:',rssError(abY[100:199], yHat01.T))
    print('k=1  时,误差大小为:',rssError(abY[100:199], yHat1.T))
    print('k=10 时,误差大小为:',rssError(abY[100:199], yHat10.T))
    print('')
    print('训练集与测试集不同:简单的线性归回与k=1时的局部加权线性回归对比:')
    print('k=1时,误差大小为:', rssError(abY[100:199], yHat1.T))
    ws = standRegres(abX[0:99], abY[0:99])
    yHat = np.mat(abX[100:199]) * ws
    print('简单的线性回归误差大小:', rssError(abY[100:199], yHat.T.A))
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运行结果如下：

可以看到，当k=0.1时，训练集误差小，但是应用于新的数据集之后，误差反而变大了。这就是经常说道的过拟合现象。

我们训练的模型，我们要保证测试集准确率高，这样训练出的模型才可以应用于新的数据，也就是要加强模型的普适性。

可以看到，当k=1时，局部加权线性回归和简单的线性回归得到的效果差不多。这也表明一点，必须在未知数据上比较效果才能选取到最佳模型。那么最佳的核大小是10吗？或许是，但如果想得到更好的效果，应该用10个不同的样本集做10次测试来比较结果。

本示例展示了如何使用局部加权线性回归来构建模型，可以得到比普通线性回归更好的效果。局部加权线性回归的问题在于，每次必须在整个数据集上运行。也就是说为了做出预测，必须保存所有的训练数据。

小总结：

• 在局部加权线性回归中，过小的核可能导致过拟合现象，即测试集表现良好，训练集表现就渣渣了。
• 训练的模型要在测试集比较它们的效果，而不是在训练集上。

下节将介绍另一种提高预测精度的方法。

岭回归

如果**数据的特征比样本点还多（列比行多）**应该怎么办？

很显然，此时我们不能再使用上文的方法进行计算了，因为矩阵X不是满秩矩阵，非满秩矩阵在求逆时会出现问题。为了解决这个问题，统计学家引入岭回归（ridge regression）的概念。

什么是岭回归？

岭回归即我们所说的L2正则线性回归，即在一般的线性回归最小化均方误差的基础上，增加了一个参数w的L2范数的罚项，从而最小化罚项残差平方和：

简单说来，岭回归就是在普通线性回归的基础上引入单位矩阵。回归系数的计算公式变形如下：

编写代码

为了使用岭回归和缩减技术，首先需要对特征做标准化处理。

因为，我们需要使每个维度特征具有相同的重要性。

本文使用的标准化处理比较简单，就是将所有特征都减去各自的均值并除以方差。

代码很简单，只需要稍做修改，其中，λ为模型的参数。

我们先绘制一个回归系数与log(λ)的曲线图，看下它们的规律，编写代码如下：

# -*-coding:utf-8 -*-
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def loadDataSet(fileName):
    """
    函数说明:加载数据
    Parameters:
        fileName - 文件名
    Returns:
        xArr - x数据集
        yArr - y数据集
    """
    numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1
    xArr = []; yArr = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr =[]
        curLine = line.strip().split('\t')
        for i in range(numFeat):
            lineArr.append(float(curLine[i]))
        xArr.append(lineArr)
        yArr.append(float(curLine[-1]))
    return xArr, yArr
def ridgeRegres(xMat, yMat, lam = 0.2):
    """
    函数说明:岭回归
    Parameters:
        xMat - x数据集
        yMat - y数据集
        lam - 缩减系数
    Returns:
        ws - 回归系数
    """
    xTx = xMat.T * xMat
    denom = xTx + np.eye(np.shape(xMat)[1]) * lam
    if np.linalg.det(denom) == 0.0:
        print("矩阵为奇异矩阵,不能转置")
        return
    ws = denom.I * (xMat.T * yMat)
    return ws

def ridgeTest(xArr, yArr):
    """
    函数说明:岭回归测试
    Parameters:
        xMat - x数据集
        yMat - y数据集
    Returns:
        wMat - 回归系数矩阵
    """
    xMat = np.mat(xArr); yMat = np.mat(yArr).T
    #数据标准化
    yMean = np.mean(yMat, axis = 0)                        #行与行操作，求均值，也就是求最后一列训练集真实值的平均值
    yMat = yMat - yMean                                    #数据减去均值，每一行y结果减去平均值
    xMeans = np.mean(xMat, axis = 0)                    #行与行操作，求均值
    xVar = np.var(xMat, axis = 0)                        #行与行操作，求方差
    xMat = (xMat - xMeans) / xVar                        #数据减去均值除以方差实现标准化
    numTestPts = 30                                        #30个不同的lambda测试
    wMat = np.zeros((numTestPts, np.shape(xMat)[1]))    #初始回归系数矩阵
    for i in range(numTestPts):                            #改变lambda计算回归系数
        ws = ridgeRegres(xMat, yMat, np.exp(i - 10))    #lambda以e的指数变化，最初是一个非常小的数，
        wMat[i, :] = ws.T                                 #计算回归系数矩阵
    return wMat

def plotwMat():
    """
    函数说明:绘制岭回归系数矩阵
    """
    font = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc", size=14)
    abX, abY = loadDataSet('abalone.txt')
    redgeWeights = ridgeTest(abX, abY)
    print(redgeWeights)
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.plot(redgeWeights)
    ax_title_text = ax.set_title(u'log(lambada)与回归系数的关系', FontProperties = font)
    ax_xlabel_text = ax.set_xlabel(u'log(lambada)', FontProperties = font)
    ax_ylabel_text = ax.set_ylabel(u'回归系数', FontProperties = font)
    plt.setp(ax_title_text, size = 20, weight = 'bold', color = 'red')
    plt.setp(ax_xlabel_text, size = 10, weight = 'bold', color = 'black')
    plt.setp(ax_ylabel_text, size = 10, weight = 'bold', color = 'black')
    plt.show()

if __name__ == '__main__':
    plotwMat()
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结果如下：

图绘制了回归系数与log(λ)的关系。

在最左边，即λ最小时，可以得到所有系数的原始值（与线性回归一致）；

而在右边，系数全部缩减成0；在中间部分的某个位置，将会得到最好的预测结果。

想要得到最佳的λ参数，可以使用交叉验证的方式获得，文章的后面会继续讲解。

前向逐步线性回归

前向逐步线性回归算法属于一种贪心算法，即每一步都尽可能减少误差。

我们计算回归系数，不再是通过公式计算，而是通过每次微调各个回归系数，然后计算预测误差。

那个使误差最小的一组回归系数，就是我们需要的最佳回归系数。

前向逐步线性回归实现也很简单。当然，还是先进行数据标准化，编写代码如下：

# -*-coding:utf-8 -*-
from matplotlib.font_manager import FontProperties
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


def loadDataSet(fileName):
    """
    函数说明:加载数据
    Parameters:
        fileName - 文件名
    Returns:
        xArr - x数据集
        yArr - y数据集
    """
    numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1
    xArr = [];
    yArr = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr = []
        curLine = line.strip().split('\t')
        for i in range(numFeat):
            lineArr.append(float(curLine[i]))
        xArr.append(lineArr)
        yArr.append(float(curLine[-1]))
    return xArr, yArr


def regularize(xMat, yMat):
    """
    函数说明:数据标准化
    Parameters:
        xMat - x数据集
        yMat - y数据集
    Returns:
        inxMat - 标准化后的x数据集
        inyMat - 标准化后的y数据集
    """
    inxMat = xMat.copy()  # 数据拷贝
    inyMat = yMat.copy()
    yMean = np.mean(yMat, 0)  # 行与行操作，求均值
    inyMat = yMat - yMean  # 数据减去均值
    inMeans = np.mean(inxMat, 0)  # 行与行操作，求均值
    inVar = np.var(inxMat, 0)  # 行与行操作，求方差
    inxMat = (inxMat - inMeans) / inVar  # 数据减去均值除以方差实现标准化
    return inxMat, inyMat


def rssError(yArr, yHatArr):
    """
    函数说明:计算平方误差
    Parameters:
        yArr - 预测值
        yHatArr - 真实值
    Returns:

    """
    return ((yArr - yHatArr) ** 2).sum()


def stageWise(xArr, yArr, eps=0.01, numIt=100):
    """
    函数说明:前向逐步线性回归
    Parameters:
        xArr - x输入数据
        yArr - y预测数据
        eps - 每次迭代需要调整的步长
        numIt - 迭代次数
    Returns:
        returnMat - numIt次迭代的回归系数矩阵
    """
    xMat = np.mat(xArr);
    yMat = np.mat(yArr).T  # 数据集
    xMat, yMat = regularize(xMat, yMat)  # 数据标准化
    m, n = np.shape(xMat)
    returnMat = np.zeros((numIt, n))  # 初始化numIt次迭代的回归系数矩阵
    ws = np.zeros((n, 1))  # 初始化回归系数矩阵
    wsTest = ws.copy()
    wsMax = ws.copy()
    for i in range(numIt):  # 迭代numIt次
        # print(ws.T)                                                                    #打印当前回归系数矩阵
        lowestError = float('inf');  # 正无穷
        for j in range(n):  # 遍历每个特征的回归系数
            for sign in [-1, 1]:
                wsTest = ws.copy()
                wsTest[j] += eps * sign  # 微调回归系数
                yTest = xMat * wsTest  # 计算预测值
                rssE = rssError(yMat.A, yTest.A)  # 计算平方误差
                if rssE < lowestError:  # 如果误差更小，则更新当前的最佳回归系数
                    lowestError = rssE
                    wsMax = wsTest
        ws = wsMax.copy()
        returnMat[i, :] = ws.T  # 记录numIt次迭代的回归系数矩阵
    return returnMat


def plotstageWiseMat():
    """
    函数说明:绘制岭回归系数矩阵
    """
    font = FontProperties(fname=r"c:\windows\fonts\simsun.ttc", size=14)
    xArr, yArr = loadDataSet('abalone.txt')
    returnMat = stageWise(xArr, yArr, 0.005, 1000)
    fig = plt.figure()
    ax = fig.add_subplot(111)
    ax.plot(returnMat)
    ax_title_text = ax.set_title(u'前向逐步回归:迭代次数与回归系数的关系', FontProperties=font)
    ax_xlabel_text = ax.set_xlabel(u'迭代次数', FontProperties=font)
    ax_ylabel_text = ax.set_ylabel(u'回归系数', FontProperties=font)
    plt.setp(ax_title_text, size=15, weight='bold', color='red')
    plt.setp(ax_xlabel_text, size=10, weight='bold', color='black')
    plt.setp(ax_ylabel_text, size=10, weight='bold', color='black')
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    plotstageWiseMat()
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结果如下：

还是，我们打印了迭代次数与回归系数的关系曲线。

可以看到，有些系数从始至终都是约为0的，这说明它们不对目标造成任何影响，也就是说这些特征很可能是不需要的。

逐步线性回归算法的优点在于它可以帮助人们理解有的模型并做出改进。当构建了一个模型后，可以运行该算法找出重要的特征，这样就有可能及时停止对那些不重要特征的收集。

总结一下：

缩减方法（逐步线性回归或岭回归），就是将一些系数缩减成很小的值或者直接缩减为0。

这样做，就增大了模型的偏差（减少了一些特征的权重），通过把一些特征的回归系数缩减到0，同时也就减少了模型的复杂度。消除了多余的特征之后，模型更容易理解，同时也降低了预测误差。但是当缩减过于严厉的时候，就会出现过拟合的现象，即用训练集预测结果很好，用测试集预测就糟糕很多。

预测乐高玩具套件价格

乐高玩具每个套装包含的部件数目从10件到5000件不等。

一种乐高套件基本上在几年后就会停产，但乐高的收藏者之间仍会在停产后彼此交易。本次实例，就是使用回归方法对收藏者之间的交易价格进行预测。

获取数据

在这里书中的方法我们无法继续采用，感谢博主提供一种新方法，在网上找到了书上用到的那些html文件。我们通过解析html文件，来获取我们需要的信息，解析Html代码会在下节建立模型中呈现。

建立模型

我们处理好了数据集之后，接下来就是训练模型。

首先我们需要添加全为0的特征X0列。因为线性回归的第一列特征要求都是1.0。

然后使用最简单的普通线性回归，编写代码如下：

• 普通线性回归预测乐高玩具套件价格

# -*-coding:utf-8 -*-
import numpy as np
from bs4 import BeautifulSoup


def scrapePage(retX, retY, inFile, yr, numPce, origPrc):
    """
    函数说明:从页面读取数据，生成retX和retY列表
    Parameters:
        retX - 数据X
        retY - 数据Y
        inFile - HTML文件
        yr - 年份
        numPce - 乐高部件数目
        origPrc - 原价
    """
    # 打开并读取HTML文件
    with open(inFile, encoding='utf-8') as f:
        html = f.read()
    soup = BeautifulSoup(html)
    i = 1
    # 根据HTML页面结构进行解析
    currentRow = soup.find_all('table', r="%d" % i)
    while (len(currentRow) != 0):
        currentRow = soup.find_all('table', r="%d" % i)
        title = currentRow[0].find_all('a')[1].text
        lwrTitle = title.lower()
        # 查找是否有全新标签
        if (lwrTitle.find('new') > -1) or (lwrTitle.find('nisb') > -1):
            newFlag = 1.0
        else:
            newFlag = 0.0
        # 查找是否已经标志出售，我们只收集已出售的数据
        soldUnicde = currentRow[0].find_all('td')[3].find_all('span')
        if len(soldUnicde) == 0:
            print("商品 #%d 没有出售" % i)
        else:
            # 解析页面获取当前价格
            soldPrice = currentRow[0].find_all('td')[4]
            priceStr = soldPrice.text
            priceStr = priceStr.replace('$', '')
            priceStr = priceStr.replace(',', '')
            if len(soldPrice) > 1:
                priceStr = priceStr.replace('Free shipping', '')
            sellingPrice = float(priceStr)
            # 去掉不完整的套装价格
            if sellingPrice > origPrc * 0.5:
                print("%d\t%d\t%d\t%f\t%f" % (yr, numPce, newFlag, origPrc, sellingPrice))
                retX.append([yr, numPce, newFlag, origPrc])
                retY.append(sellingPrice)
        i += 1
        currentRow = soup.find_all('table', r="%d" % i)


#
def setDataCollect(retX, retY):
    """
    函数说明:依次读取六种乐高套装的数据，并生成数据矩阵
    """
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego8288.html', 2006, 800, 49.99)  # 2006年的乐高8288,部件数目800,原价49.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10030.html', 2002, 3096, 269.99)  # 2002年的乐高10030,部件数目3096,原价269.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10179.html', 2007, 5195, 499.99)  # 2007年的乐高10179,部件数目5195,原价499.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10181.html', 2007, 3428, 199.99)  # 2007年的乐高10181,部件数目3428,原价199.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10189.html', 2008, 5922, 299.99)  # 2008年的乐高10189,部件数目5922,原价299.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10196.html', 2009, 3263, 249.99)  # 2009年的乐高10196,部件数目3263,原价249.99


def regularize(xMat, yMat):
    """
    函数说明:数据标准化
    Parameters:
        xMat - x数据集
        yMat - y数据集
    Returns:
        inxMat - 标准化后的x数据集
        inyMat - 标准化后的y数据集
    """
    inxMat = xMat.copy()  # 数据拷贝
    inyMat = yMat.copy()
    yMean = np.mean(yMat, 0)  # 行与行操作，求均值
    inyMat = yMat - yMean  # 数据减去均值
    inMeans = np.mean(inxMat, 0)  # 行与行操作，求均值
    inVar = np.var(inxMat, 0)  # 行与行操作，求方差
    # print(inxMat)
    print(inMeans)
    # print(inVar)
    inxMat = (inxMat - inMeans) / inVar  # 数据减去均值除以方差实现标准化
    return inxMat, inyMat


def rssError(yArr, yHatArr):
    """
    函数说明:计算平方误差
    Parameters:
        yArr - 预测值
        yHatArr - 真实值
    Returns:

    """
    return ((yArr - yHatArr) ** 2).sum()


def standRegres(xArr, yArr):
    """
    函数说明:计算回归系数w
    Parameters:
        xArr - x数据集
        yArr - y数据集
    Returns:
        ws - 回归系数
    """
    xMat = np.mat(xArr);
    yMat = np.mat(yArr).T
    xTx = xMat.T * xMat  # 根据文中推导的公示计算回归系数
    if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
        print("矩阵为奇异矩阵,不能转置")
        return
    ws = xTx.I * (xMat.T * yMat)
    return ws


def useStandRegres():
    """
    函数说明:使用简单的线性回归
    """
    lgX = []
    lgY = []
    setDataCollect(lgX, lgY)#通过HTML读取数据集，X内保存的是年份、数量、是否为全新、原价，Y内保存的是爬取的现价，也就是训练集的真实值，
    data_num, features_num = np.shape(lgX)
    lgX1 = np.mat(np.ones((data_num, features_num + 1)))
    lgX1[:, 1:5] = np.mat(lgX)
    ws = standRegres(lgX1, lgY)
    print('%f%+f*年份%+f*部件数量%+f*是否为全新%+f*原价' % (ws[0], ws[1], ws[2], ws[3], ws[4]))


if __name__ == '__main__':
    useStandRegres()#通过年份、部件数量、是否为全新、原价来预测现卖价
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打印结果如下：

可以看到，模型采用的公式如上图所示。

虽然这个模型对于数据拟合得很好，但是看上并没有什么道理。

套件里的部件数量越多，售价反而降低了，这是不合理的。

接下来看看岭回归。

• 岭回归预测乐高玩具套件价格

我们使用岭回归，通过交叉验证，找到使误差最小的λ对应的回归系数。编写代码如下：

# -*-coding:utf-8 -*-
import numpy as np
from bs4 import BeautifulSoup
import random


def scrapePage(retX, retY, inFile, yr, numPce, origPrc):
    """
    函数说明:从页面读取数据，生成retX和retY列表
    Parameters:
        retX - 数据X
        retY - 数据Y
        inFile - HTML文件
        yr - 年份
        numPce - 乐高部件数目
        origPrc - 原价
    """
    # 打开并读取HTML文件
    with open(inFile, encoding='utf-8') as f:
        html = f.read()
    soup = BeautifulSoup(html)
    i = 1
    # 根据HTML页面结构进行解析
    currentRow = soup.find_all('table', r="%d" % i)
    while (len(currentRow) != 0):
        currentRow = soup.find_all('table', r="%d" % i)
        title = currentRow[0].find_all('a')[1].text
        lwrTitle = title.lower()
        # 查找是否有全新标签
        if (lwrTitle.find('new') > -1) or (lwrTitle.find('nisb') > -1):
            newFlag = 1.0
        else:
            newFlag = 0.0
        # 查找是否已经标志出售，我们只收集已出售的数据
        soldUnicde = currentRow[0].find_all('td')[3].find_all('span')
        if len(soldUnicde) == 0:
            print("商品 #%d 没有出售" % i)
        else:
            # 解析页面获取当前价格
            soldPrice = currentRow[0].find_all('td')[4]
            priceStr = soldPrice.text
            priceStr = priceStr.replace('$', '')
            priceStr = priceStr.replace(',', '')
            if len(soldPrice) > 1:
                priceStr = priceStr.replace('Free shipping', '')
            sellingPrice = float(priceStr)
            # 去掉不完整的套装价格
            if sellingPrice > origPrc * 0.5:
                print("%d\t%d\t%d\t%f\t%f" % (yr, numPce, newFlag, origPrc, sellingPrice))
                retX.append([yr, numPce, newFlag, origPrc])
                retY.append(sellingPrice)
        i += 1
        currentRow = soup.find_all('table', r="%d" % i)


def ridgeRegres(xMat, yMat, lam=0.2):
    """
    函数说明:岭回归
    Parameters:
        xMat - x数据集
        yMat - y数据集
        lam - 缩减系数
    Returns:
        ws - 回归系数
    """
    xTx = xMat.T * xMat
    denom = xTx + np.eye(np.shape(xMat)[1]) * lam
    if np.linalg.det(denom) == 0.0:
        print("矩阵为奇异矩阵,不能转置")
        return
    ws = denom.I * (xMat.T * yMat)
    return ws


def setDataCollect(retX, retY):
    """
    函数说明:依次读取六种乐高套装的数据，并生成数据矩阵
    """
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego8288.html', 2006, 800, 49.99)  # 2006年的乐高8288,部件数目800,原价49.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10030.html', 2002, 3096, 269.99)  # 2002年的乐高10030,部件数目3096,原价269.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10179.html', 2007, 5195, 499.99)  # 2007年的乐高10179,部件数目5195,原价499.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10181.html', 2007, 3428, 199.99)  # 2007年的乐高10181,部件数目3428,原价199.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10189.html', 2008, 5922, 299.99)  # 2008年的乐高10189,部件数目5922,原价299.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10196.html', 2009, 3263, 249.99)  # 2009年的乐高10196,部件数目3263,原价249.99


def regularize(xMat, yMat):
    """
    函数说明:数据标准化
    Parameters:
        xMat - x数据集
        yMat - y数据集
    Returns:
        inxMat - 标准化后的x数据集
        inyMat - 标准化后的y数据集
    """
    inxMat = xMat.copy()  # 数据拷贝
    inyMat = yMat.copy()
    yMean = np.mean(yMat, 0)  # 行与行操作，求均值
    inyMat = yMat - yMean  # 数据减去均值
    inMeans = np.mean(inxMat, 0)  # 行与行操作，求均值
    inVar = np.var(inxMat, 0)  # 行与行操作，求方差
    # print(inxMat)
    print(inMeans)
    # print(inVar)
    inxMat = (inxMat - inMeans) / inVar  # 数据减去均值除以方差实现标准化
    return inxMat, inyMat


def rssError(yArr, yHatArr):
    """
    函数说明:计算平方误差
    Parameters:
        yArr - 预测值
        yHatArr - 真实值
    Returns:
    """
    return ((yArr - yHatArr) ** 2).sum()


def standRegres(xArr, yArr):
    """
    函数说明:计算回归系数w
    Parameters:
        xArr - x数据集
        yArr - y数据集
    Returns:
        ws - 回归系数
    """
    xMat = np.mat(xArr);
    yMat = np.mat(yArr).T
    xTx = xMat.T * xMat  # 根据文中推导的公示计算回归系数
    if np.linalg.det(xTx) == 0.0:
        print("矩阵为奇异矩阵,不能转置")
        return
    ws = xTx.I * (xMat.T * yMat)
    return ws


def crossValidation(xArr, yArr, numVal=10):
    """
    函数说明:交叉验证岭回归
    Parameters:
        xArr - x数据集
        yArr - y数据集
        numVal - 交叉验证次数
    Returns:
        wMat - 回归系数矩阵
    """
    m = len(yArr)  # 统计样本个数
    indexList = list(range(m))  # 生成索引值列表
    errorMat = np.zeros((numVal, 30))  # create error mat 30columns numVal rows
    for i in range(numVal):  # 交叉验证numVal次
        trainX = [];
        trainY = []  # 训练集
        testX = [];
        testY = []  # 测试集
        random.shuffle(indexList)  # 打乱次序
        for j in range(m):  # 划分数据集:90%训练集，10%测试集
            if j < m * 0.9:
                trainX.append(xArr[indexList[j]])
                trainY.append(yArr[indexList[j]])
            else:
                testX.append(xArr[indexList[j]])
                testY.append(yArr[indexList[j]])
        wMat = ridgeTest(trainX, trainY)  # 获得30个不同lambda下的岭回归系数
        for k in range(30):  # 遍历所有的岭回归系数
            matTestX = np.mat(testX);
            matTrainX = np.mat(trainX)  # 测试集
            meanTrain = np.mean(matTrainX, 0)  # 测试集均值
            varTrain = np.var(matTrainX, 0)  # 测试集方差
            matTestX = (matTestX - meanTrain) / varTrain  # 测试集标准化
            yEst = matTestX * np.mat(wMat[k, :]).T + np.mean(trainY)  # 根据ws预测y值
            errorMat[i, k] = rssError(yEst.T.A, np.array(testY))  # 统计误差
    meanErrors = np.mean(errorMat, 0)  # 计算每次交叉验证的平均误差
    minMean = float(min(meanErrors))  # 找到最小误差
    bestWeights = wMat[np.nonzero(meanErrors == minMean)]  # 找到最佳回归系数
    xMat = np.mat(xArr);
    yMat = np.mat(yArr).T
    meanX = np.mean(xMat, 0);
    varX = np.var(xMat, 0)
    unReg = bestWeights / varX  # 数据经过标准化，因此需要还原
    print('%f%+f*年份%+f*部件数量%+f*是否为全新%+f*原价' % (
    (-1 * np.sum(np.multiply(meanX, unReg)) + np.mean(yMat)), unReg[0, 0], unReg[0, 1], unReg[0, 2], unReg[0, 3]))


def ridgeTest(xArr, yArr):
    """
    函数说明:岭回归测试
    Parameters:
        xMat - x数据集
        yMat - y数据集
    Returns:
        wMat - 回归系数矩阵
    """
    xMat = np.mat(xArr);
    yMat = np.mat(yArr).T
    # 数据标准化
    yMean = np.mean(yMat, axis=0)  # 行与行操作，求均值
    yMat = yMat - yMean  # 数据减去均值
    xMeans = np.mean(xMat, axis=0)  # 行与行操作，求均值
    xVar = np.var(xMat, axis=0)  # 行与行操作，求方差
    xMat = (xMat - xMeans) / xVar  # 数据减去均值除以方差实现标准化
    numTestPts = 30  # 30个不同的lambda测试
    wMat = np.zeros((numTestPts, np.shape(xMat)[1]))  # 初始回归系数矩阵
    for i in range(numTestPts):  # 改变lambda计算回归系数
        ws = ridgeRegres(xMat, yMat, np.exp(i - 10))  # lambda以e的指数变化，最初是一个非常小的数，
        wMat[i, :] = ws.T  # 计算回归系数矩阵
    return wMat


if __name__ == '__main__':
    lgX = []
    lgY = []
    setDataCollect(lgX, lgY)
    crossValidation(lgX, lgY)
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结果如下：

这里随机选取样本，因为其随机性，所以每次运行的结果可能略有不同。

不过整体如上图所示，可以看出，它与常规的最小二乘法，即普通的线性回归没有太大差异。

我们本期望找到一个更易于理解的模型，显然没有达到预期效果。

• 使用Sklearn的linear_model对乐高玩具套件价格预测

使用sklearn实现下 岭回归，函数什么的就不介绍了，具体可看Jack-Cui博主的文章有介绍。

直接上代码：

# -*-coding:utf-8 -*-
import numpy as np
from bs4 import BeautifulSoup
import random


def scrapePage(retX, retY, inFile, yr, numPce, origPrc):
    """
    函数说明:从页面读取数据，生成retX和retY列表
    Parameters:
        retX - 数据X
        retY - 数据Y
        inFile - HTML文件
        yr - 年份
        numPce - 乐高部件数目
        origPrc - 原价
    """
    # 打开并读取HTML文件
    with open(inFile, encoding='utf-8') as f:
        html = f.read()
    soup = BeautifulSoup(html)
    i = 1
    # 根据HTML页面结构进行解析
    currentRow = soup.find_all('table', r="%d" % i)
    while (len(currentRow) != 0):
        currentRow = soup.find_all('table', r="%d" % i)
        title = currentRow[0].find_all('a')[1].text
        lwrTitle = title.lower()
        # 查找是否有全新标签
        if (lwrTitle.find('new') > -1) or (lwrTitle.find('nisb') > -1):
            newFlag = 1.0
        else:
            newFlag = 0.0
        # 查找是否已经标志出售，我们只收集已出售的数据
        soldUnicde = currentRow[0].find_all('td')[3].find_all('span')
        if len(soldUnicde) == 0:
            print("商品 #%d 没有出售" % i)
        else:
            # 解析页面获取当前价格
            soldPrice = currentRow[0].find_all('td')[4]
            priceStr = soldPrice.text
            priceStr = priceStr.replace('$', '')
            priceStr = priceStr.replace(',', '')
            if len(soldPrice) > 1:
                priceStr = priceStr.replace('Free shipping', '')
            sellingPrice = float(priceStr)
            # 去掉不完整的套装价格
            if sellingPrice > origPrc * 0.5:
                print("%d\t%d\t%d\t%f\t%f" % (yr, numPce, newFlag, origPrc, sellingPrice))
                retX.append([yr, numPce, newFlag, origPrc])
                retY.append(sellingPrice)
        i += 1
        currentRow = soup.find_all('table', r="%d" % i)


def setDataCollect(retX, retY):
    """
    函数说明:依次读取六种乐高套装的数据，并生成数据矩阵
    """
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego8288.html', 2006, 800, 49.99)  # 2006年的乐高8288,部件数目800,原价49.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10030.html', 2002, 3096, 269.99)  # 2002年的乐高10030,部件数目3096,原价269.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10179.html', 2007, 5195, 499.99)  # 2007年的乐高10179,部件数目5195,原价499.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10181.html', 2007, 3428, 199.99)  # 2007年的乐高10181,部件数目3428,原价199.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10189.html', 2008, 5922, 299.99)  # 2008年的乐高10189,部件数目5922,原价299.99
    scrapePage(retX, retY, './lego/lego10196.html', 2009, 3263, 249.99)  # 2009年的乐高10196,部件数目3263,原价249.99


def usesklearn():
    """
    函数说明:使用sklearn
    """
    from sklearn import linear_model
    reg = linear_model.Ridge(alpha=.5)
    lgX = []
    lgY = []
    setDataCollect(lgX, lgY)
    reg.fit(lgX, lgY)
    print('%f%+f*年份%+f*部件数量%+f*是否为全新%+f*原价' % (reg.intercept_, reg.coef_[0], reg.coef_[1], reg.coef_[2], reg.coef_[3]))


if __name__ == '__main__':
    usesklearn()
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结果如下：

我们发现结果和上面岭回归结果类似。

总结

• 回归与分类一样，回归也是预测目标值的过程。回归与分类的不同点在于，前者预测连续类型变量，而后者预测离散类型变量。
• 岭回归是缩减法的一种，相当于对回归系数的大小施加了限制。另一种很好的缩减法是lasso。lasso难以求解，但可以使用计算简便的逐步线性回归方法求的近似解。
• 缩减法还可以看做是对一个模型增加偏差的同时减少方法。