牛客多校第一场总结_dreyfus-wagner

牛客多校第一场总结

1 A Monotonic Matrix

先备知识
LGV 算法 (Lindström–Gessel–Viennot lemma)
求

求以上矩阵的行列式，其中 e(a,b) 是a-b的方法数，带入就能求(a1,a2,…an) - (b1,b2,…bn) 的所有不相交路径的种数

考虑01和12的分界线
是(n, 0)到(0，m)的两条不相交（可重合）路径
分界线以及分界线以上的点是一种，分界线下是一种
平移其中一条变成(n-1, -1)到(-1，m-1);
变成(注意下面图片有个m-1写成n-1了,懒癌不想改了)
起点${\{a_1,a_2\}} = {\{(n,0),(n-1,-1)\}}$\
终点${\{b_1, b_2\}} = {\{(0,m),(-1,m-1)\}}$

做法 2 http://oeis.org/(网络赛）
仔细找规律
原题地址https://codeforces.com/problemset/problem/348/D
关于LGV的博客
https://www.cnblogs.com/jszkc/p/7309468.html
http://www.cnblogs.com/joyouth/p/5607781.html

2 B Symmetric Matrix

把构造的邻接矩阵变成图结构，通过观察规律递推求出公式
把矩阵和图联系起来（双向）
对邻接矩阵以及题目特殊要求的敏感性
http://oeis.org/(网络赛）

1. 题意
   求满足下面条件的n*n的矩阵的个数
   
   2.分析
   仔细分析转换成图的邻接矩阵，可知n个点组成若干个环的方案种数
   边界条件
   
   $$dp[0] = 1, dp[1] = 0, dp[2] =1$$
   下面去递推式，dp[n] 表示节点数为n时的方案数
2. 前n-1个球取出来一个和第n个球组成一个环
   $$(n-1)*dp[n-2]$$
3. 前n-1个球取出来k个，剩下的n-k-1个旧求和第n个球组成一个环
   $$\sum_{i = 0}^{i <n-2}C(n-1,k)*(n-k-1)!/2*dp[i]$$
   其中(n-k-i)个旧球 和一个新球组成环的种类的个数是(n-k-1)!,除以2是要去除对称

$$dp[n] = (n-1)*dp[n-2]+\sum_{i = 0}^{i < n-2}C(n-1,k)*(n-k-1)!/2*dp[i]$$
$$dp[n] = (n-1)*dp[n-2]+\sum_{i = 0}^{i < n-2}(n-1)!/k!/2*dp[i]$$
化简得
$$dp[n] = (n-1)*dp[n-2] + (n-1)*(n-2)/2*dp[n-3] + (n-1)*(dp[n-1]-(n-2)*dp[n-3])$$

1. 参考代码
            B.cpp

3 C Fluorescent 2

1 概率论期望的求解
题意： 有m个灯，n个开关，每一个开关都可以控制多个灯反转
用一个n*m $(Cij)$的矩阵表示,这n个开关可以选择选或者不选，2^n种方法
用f(S) 表示用S这种方法最后灯还亮着的的个数
求

$$sum(f(S)^3)$$
分析: 用 $x_i$表示i这个灯最后的状态
那么 $$f(S)^3 = (x_0+x_1+...x_{n-1})^3 = \sum{x_i*x_j*x_j}$$
$$sum(f(S)^3) = sum( \sum{x_i*x_j*x_j}) = E( \sum{x_i*x_j*x_j})*2^n = \sum{P(x_i*x_j*x_j==1})*2^n$$

所以问题转变成了求任意$x_i,x_j,x_k$，最后都亮着的概率和。
也即对于n*m矩阵的每一个列，任意选三个列，每一列异或和都为零的概率和。
根据线性代数秩的定义，先求出这个n*3矩阵的秩r，那么最后$x_i*x_j*x_k$ 为1的概率就为 $1 / 2^r$,这一点不好理解。先选出r个基向量，那么对于剩下的n-r个向量选或者不选，者r个基向量都可以选出一些和这些相同，即可由基向量组合成剩下的n-r个向量的异或和，那么总的异或就是0，符合条件。所以种类是$2^{n-r}$，概率 $2^{n-r}/2^n =1 / 2^r$
所以我们求出秩为0，1,3,4的个数，最后求和。
2. 参考代码 C.cpp

4. D Two Graphs

• 看清楚数据范围
• 根据榜单判断当前思路是否有问题，是否有更简单或者暴力试一发
• 遇到新的概念不要慌，仔细审题
• ————————
  
  1. 具体思路:
     暴力枚举所有可能的$\phi()$函数的所有情况$n!$种情况，然后判断每一种情况是否能和G2图吻合，最重要的排除G1的自同构

1. 参考代码 D.cpp

5 E Romovel

1. 字符串删减，字符串匹配与动态规划

6 F Sum of Maximum

1 什么是拉格朗日多项式
大神博客
我的总结拉格朗日多项式及其应用
2 拉格朗日模板+ 本题代码

参考代码 F.cpp

7 G Dreyfus-Wagner

8 H

1. 求最长路，向下求 down 和向上求 up 操作
2. 斜率优化

9 I

后缀数组
题意：求一个字符串求所有不同构子串的个数，字符串仅有a,b,c
分析：比较本题与上一题，发现多了一个同构的限制，本字符串内的子串可能有同构的情况，首先想到的方法是除去同构，发现比较难实现，反其道而行之，枚举所有的同构情况，然后除以同构函数的个数6，就可以求出答案，注意特判单个字符的同构。

参考代码 I.cpp

10J

1. 题意：
   求1-l,r-n这连个段中间不同数的个数

2. 分析：
   树状数组的运用:将数组加倍,然后求区间(r,l+n)不同数

3. 参考代码 I.cpp

参考代码 J.cpp