从斐波那契数列理解动态规划_斐波那契数列动态规划

一提到动态规划，大多数人都想到许许多多的名词，如什么状态转移方程什么的；要不就想到教材书上严谨而又晦涩难懂的对于动态规划的介绍；也有人想到高中的通项公式或数列题等等。然后脑子就开始晕了，感觉其他的入门算法都可以理解，但是到了动态规划就好难学会，也不禁产生出一种挫败的念头。不过别急，本人用我掌握动态规划的历程带你理解动态规划，让你成功进入动态规划的领域。

在使用动态规划前，先了解为什么使用动态规划。动态规划问题的一般形式就是求最值，比如最少硬币，最大背包价值，最短路线等等。既然要求最值，那么最简单的方法是啥？当然是一个个找呗。比如从十个人中找到最高那个，把所有可能的答案找一遍就可以得到最值了。所以动态规划的基础就是穷举。

但是动态规划的穷举和一般的穷举还不太一样，因为这类问题存在重叠子问题，如果暴力穷举的话效率会极其低下，所以需要一张表来优化穷举过程，避免冗余的计算。另外，虽然动态规划的核心思想就是穷举求最值，但是问题可以千变万化，穷举所有可行解其实并不是一件容易的事，只有得到正确的状态转移方程才能正确地穷举。

以上提到的重叠子问题、状态转移方程就是动态规划中的两个要素。这两要素的意思等会具体讲解，在实际的算法问题中，写出状态转移方程是最困难的，接下来的思维方式，将会辅助你思考状态转移方程。

斐波那契数列

1、暴力递归

斐波那契数列的数学形式就是递归的，写成代码就是这样：

int fib(int N) {
   
    if (N == 1 || N == 2) return 1;
    return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
1
2
3
4
5

这个不用多说了，学校老师讲递归的时候似乎都是拿这个举例。我们也知道这样写代码虽然简洁易懂，但是十分低效，低效在哪里？

该图说的是想要计算原问题 f(20)，我就得先计算出子问题 f(19) 和 f(18)，然后要计算 f(19)，我就要先算出子问题 f(18) 和 f(17)，以此类推。最后遇到 f(1) 或者 f(2) 的时候，结果已知，就能直接返回结果，递归树不再向下生长了。