【高阶数据结构】图_有向图的邻接矩阵

一、图的基本概念

图是由顶点集合及顶点间的关系组成的一种数据结构：G = (V， E)，其中：

顶点集合V = {x|x属于某个数据对象集}是有穷非空集合；

E = {(x,y)|x,y属于V}或者E = {<x, y>|x,y属于V && Path(x, y)}是顶点间关系的有穷集合，也叫做边的集合。

(x, y)表示x到y的一条双向通路，即(x, y)是无方向的；Path(x, y)表示从x到y的一条单向通路，即Path(x, y)是有方向的。

顶点和边：图中结点称为顶点，第i个顶点记作vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和顶点vj之间有一条边，图中的第k条边记作ek，ek = (vi，vj)或<vi，vj>。

有向图和无向图：在有向图中，顶点对<x, y>是有序的，顶点对<x，y>称为顶点x到顶点y的一条边(弧)，<x, y>和<y, x>是两条不同的边，比如下图G3和G4为有向图。在无向图中，顶点对(x, y)是无序的，顶点对(x,y)称为顶点x和顶点y相关联的一条边，这条边没有特定方向，(x, y)和(y，x)是同一条边，比如下图G1和G2为无向图。注意：无向边(x, y)等于有向边<x, y>和<y, x>。

完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n \ (n-1)/2条边，即任意两个顶点之间有且仅有一条边，则称此图为无向完全图，比如上图G1；在n个顶点的有向图中，若有n \ (n-1)条边，即任意两个顶点之间有且仅有方向相反的边，则称此图为有向完全图，比如上图G4。

邻接顶点：在无向图中G中，若(u, v)是E(G)中的一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边(u,v)依附于顶点u和v；在有向图G中，若<u, v>是E(G)中的一条边，则称顶点u邻接到v，顶点v邻接自顶点u，并称边<u, v>与顶点u和顶点v相关联。

顶点的度：顶点v的度是指与它相关联的边的条数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度等于该顶点的入度与出度之和，其中顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作indev(v);顶点v的出度是以v为起始点的有向边的条数，记作outdev(v)。因此：dev(v) = indev(v) + outdev(v)。

注意：对于无向图，顶点的度等于该顶点的入度和出度，即dev(v) = indev(v) = outdev(v)。

路径：在图G = (V， E)中，若从顶点vi出发有一组边使其可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为从顶点vi到顶点vj的路径。

路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。

简单路径与回路：若路径上各顶点v1，v2，v3，…，vm均不重复，则称这样的路径为简单路径。若路径上第一个顶点v1和最后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环。

子图：设图G = {V, E}和图G1 = {V1，E1}，若V1属于V且E1属于E，则称G1是G的子图。

连通图：在无向图中，若从顶点v1到顶点v2有路径，则称顶点v1与顶点v2是连通的。如果图中任意一对顶点都是连通的，则称此图为连通图。

强连通图：在有向图中，若在每一对顶点vi和vj之间都存在一条从vi到vj的路径，也存在一条从vj到vi的路径，则称此图是强连通图。

生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边。

二、图的存储结构

因为图中既有节点，又有边(节点与节点之间的关系)，因此，在图的存储中，只需要保存：节点和边关系即可。节点保存比较简单，只需要一段连续空间即可，那边关系该怎么保存呢？

1.邻接矩阵

因为节点与节点之间的关系就是连通与否，即为0或者1，因此邻接矩阵(二维数组)即是：先用一个数组将定点保存，然后采用矩阵来表示节点与节点之间的关系。

注意：

1.无向图的邻接矩阵是对称的，第i行(列)元素之和，就是顶点i的度。有向图的邻接矩阵则不一定是对称的，第i行(列)元素之后就是顶点i 的出(入)度。

2.如果边带有权值，并且两个节点之间是连通的，上图中的边的关系就用权值代替，如果两个顶点不通，则使用无穷大代替

3.邻接矩阵存储图的有点是能够快速知道两个顶点是否连通，缺陷是如果顶点比较多，边比较少时，矩阵中存储了大量的0成为系数矩阵，比较浪费空间，并且要求两个节点之间的路径不是很好求。

代码实现：

// 领接矩阵
namespace Matrix
{
    template <class V, class W, W MAX_W = INT_MAX, bool Direction = false>
    class Graph
    {
        typedef Graph<V, W, MAX_W, Direction> Self;

    private:
        std::vector<V> _vertexs;             // 顶点集合
        std::map<V, size_t> _vIndexMap;      // 顶点的下标映射关系
        std::vector<std::vector<W>> _matrix; // 存储边集合的矩阵
    public:
        Graph() = default;
        Graph(const V *vertexs, int n)
        {
            _vertexs.reserve(n);
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                _vertexs.push_back(vertexs[i]);
                _vIndexMap[vertexs[i]] = i;
            }
            _matrix.resize(n);
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                _matrix[i].resize(n, MAX_W);
            }
        }

        size_t GetVertexIndex(const V &v)
        {
            auto it = _vIndexMap.find(v);
            if (it != _vIndexMap.end())
            {
                return it->second;
            }
            throw std::invalid_argument("不存在的定点");
            return -1;
        }

        void _AddEdge(int srci, int dsti, const W &w)
        {
            _matrix[srci][dsti] = w;
            if (Direction == false)
            {
                _matrix[dsti][srci] = w;
            }
        }
        void AddEdge(const V &src, const V &dst, const W &w)
        {
            size_t srci = GetVertexIndex(src);
            size_t dsti = GetVertexIndex(dst);
            _AddEdge(srci, dsti, w);
        }
        void Print()
        {
            // 打印顶点和下标映射关系
            for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
            {
                std::cout << _vertexs[i] << "-" << i << std::endl;
            }

            std::cout << "  ";
            for (size_t i = 0; i < _vertexs.size(); ++i)
            {
                // std::cout << i << " ";
                printf("%4d", i);
            }
            std::cout << std::endl;
            // 打印矩阵
            for (int i = 0; i < _matrix.size(); i++)
            {
                std::cout << i << " ";
                for (int j = 0; j < _matrix[i].size(); j++)
                {
                    if (_matrix[i][j] != MAX_W)
                        // std::cout << _matrix[i][j] << " ";
                        printf("%4d", _matrix[i][j]);
                    else
                        // std::cout << "#"<< " ";
                        printf("%4c", '*');
                }
                std::cout << std::endl;
            }
            std::cout << std::endl
                      << std::endl;

            // 打印所有的边
            for (int i = 0; i < _matrix.size(); i++)
            {
                for (int j = 0; j < _matrix[i].size(); i++)
                {
                    if (i < j && _matrix[i][j] != MAX_W)
                    {
                        std::cout << _vertexs[i] << "-" << _vertexs[j]
                                  << ":" << _matrix[i][j] << std::endl;
                    }
                }
            }
        }
    };
}
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2.邻接表

邻接表：使用数组表示顶点的集合，使用链表表示边的关系。

1.无向图邻接表存储

注意：无向图中同一条边在邻接表中出现了两次。如果想知道顶点vi的度，只需要知道顶点

vi边链表集合中结点的数目即可。

2.有向图邻接表存储

注意：有向图中每条边在邻接表中只出现一次，与顶点vi对应的邻接表所含结点的个数，就是该顶点的出度，也称出度表，要得到vi顶点的入度，必须检测其他所有顶点对应的边链表，看有多少边顶点的dst取值是i。

代码实现：

// 临接表
namespace LinkTable
{
    template <class W>
    struct LinkEdge
    {
        int _srcindex;
        int _dstindex;
        W _w;
        LinkEdge<W> *_next;

        LinkEdge(const W &w) : _srcindex(-1), _dstindex(-1), _w(w), _next(nullptr) {}
    };

    template <class V, class W, bool Direction = false>
    class Graph
    {
        typedef LinkEdge<W> Edge;

    private:
        std::vector<V> _vertexs;        // 顶点集合
        std::map<V, size_t> _vIndexMap; // 顶点的下标映射关系
        std::vector<Edge *> _linkTable; // 边的集合的临接表
    public:
        Graph(const V *vertesxs, size_t n)
        {
            _vertexs.reserve(n);
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                _vertexs.push_back(vertesxs[i]);
                _vIndexMap[vertesxs[i]] = i;
            }
            _linkTable.resize(n, nullptr);
        }

        size_t GetVertexIndex(const V &v)
        {
            auto it = _vIndexMap.find(v);
            if (it == _vIndexMap.end())
            {
                throw std::invalid_argument("不存在的顶点");
                return -1;
            }
            return it->second;
        }

        void AddEdge(const V &src, const V &dst, const W &w)
        {
            size_t srcindex = GetVertexIndex(src);
            size_t dstindex = GetVertexIndex(dst);

            Edge *sr_edge = new Edge(w);
            sr_edge->_srcindex = srcindex;
            sr_edge->_dstindex = dstindex;
            sr_edge->_next = _linkTable[srcindex];
            _linkTable[srcindex] = sr_edge;

            if (Direction == false)
            {
                Edge *ds_edge = new Edge(w);
                ds_edge->_srcindex = dstindex;
                ds_edge->_dstindex = srcindex;
                ds_edge->_next = _linkTable[dstindex];
                _linkTable[dstindex] = ds_edge;
            }
        }
    };

    void TestGraph()
    {
        std::string a[] = {"张三", "李四", "王五", "赵六"};
        Graph<std::string, int> g1(a, 4);
        g1.AddEdge("张三", "李四", 100);
        g1.AddEdge("张三", "王五", 200);
        g1.AddEdge("王五", "赵六", 30);
    }
}
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遍历：给定一个图G和其中任意一个顶点v0，从v0出发，沿着图中各边访问图中的所有顶点，且每个顶点仅被遍历一次。

1.图的广度优先遍历

问题：如何防止节点被重复遍历

我们使用一个和保存顶点的数组一样大小的数组visited数组来进行标记，已经访问过的顶点置为true，下次遍历到该节点的时候，如果为true就跳过

我们对用领接矩阵实现的图进行广度优先遍历

代码实现：

void BFS(const V &src)
{
    size_t srci = GetVertexIndex(src);
    std::queue<int> q;
    std::vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);

    q.push(srci);
    visited[srci] = true;

    int n = _vertexs.size();
    while (q.size())
    {
        int front = q.front();
        q.pop();
        std::cout << front << ":" << _vertexs[front] << std::endl;
        // 把front顶点的邻接顶点入队列
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            if (_matrix[front][i] != MAX_W && visited[i] == false)
            {
                q.push(i);
                visited[i] = true;
            }
        }
    }
}

void BFS(const V &src)
{
    size_t srci = GetVertexIndex(src);
    std::queue<int> q;
    std::vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);

    q.push(srci);
    visited[srci] = true;

    int n = _vertexs.size();
    int levelSize = 1;
    while (q.size())
    {
        // 一层一层的出
        while (levelSize--)
        {
            int front = q.front();
            q.pop();

            std::cout << front << ":" << _vertexs[front] << " ";

            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                if (_matrix[front][i] != MAX_W && visited[i] == false)
                {
                    q.push(i);
                    visited[i] = true;
                }
            }
        }
        std::cout << std::endl;
        levelSize = q.size();
    }
}
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2.图的深度优先遍历

我们对用领接矩阵实现的图进行深度度优先遍历

代码实现：

void _DFS(int srci, std::vector<bool> &visited)
{
    std::cout << srci << ":" << _vertexs[srci] << " ";
    visited[srci] = true;

    // 找一个srci相邻的没有访问过的点，去往深度遍历
    for (int i = 0; i < _vertexs.size(); i++)
    {
        if (_matrix[srci][i] != MAX_W && visited[i] == false)
        {
            _DFS(i, visited);
        }
    }
}

void DFS(const V &src)
{
    int srci = GetVertexIndex(src);
    std::vector<bool> visited(_vertexs.size(), false);

    _DFS(srci, visited);
}
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