【计算机算法设计与分析】最大团问题（C++_DFS+记忆化搜索+剪枝）_c++极大团搜索

问题描述(摘自百度百科)

给定无向图G=(V,E)，其中V是非空集合，称为顶点集；E是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无序对常用圆括号“( )”表示。如果UV，且对任意两个顶点u，v∈U有(u,v)∈E，则称U是G的完全子图。G的完全子图U是G的团。G的最大团是指G的最大完全子图。
如果UÍV且对任意u，v∈U有(u,v)不属于E，则称U是G的空子图。G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。
对于任一无向图G=(V,E)，其补图G’=(V’,E’)定义为：V’=V，且(u,v)∈E’当且仅当(u,v)∉E。
如果U是G的完全子图，则它也是G’的空子图，反之亦然。因此，G的团与G’的独立集之间存在一一对应的关系。特殊地，U是G的最大团当且仅当U是G’的最大独立集。
看不懂上面没关系，看这里: 通俗点讲,就是在一个无向图中找出一个点数最多的完全图。

思路解析

设P集合为所有的点集，依次取出其中的元素作为团的起始点，也就是说该团是从此点开始扩展的，每取出与之相联通的点都判断是否与当前团的所有点都联通，若true，则加入团中。
本文中所编写的代码为了使代码的时间复杂度进一步降低，向其中加入了记忆化思想，从后向前遍历点集作为起始点，深度优先时又从该点向后遍历点集加入团中，这样就可以提前预知其潜力，以达到剪枝目的，具体解法详见代码。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxm 55
int g[maxm][maxm];//存图
int vis[maxm];//存放已选择的点
int cnt[maxm];//cnt[i]表示用编号>=i的点能组成的最大团的点数
int ans, n;
bool dfs(int cur, int num) {//从第cur个点开始向后添加，当前点是第num个
	for (int i = cur + 1; i <= n; i++) {
		if (cnt[i] + num <= ans)//当前点后的所有点组成的最大团的最大点数+已经加入的点数<=当前最佳答案（最好的情况都不可能超过当前最优解，则进行剪枝）
			return 0;
		if (g[cur][i])//两点相邻
		{
			int ok = 1;
			for (int j = 0; j < num; j++)//是否和当前已经加入团的所有点相邻
				if (!g[i][vis[j]])
				{
					ok = 0;
					break;
				}
			if (ok) {//当前点可以加入团中
				vis[num] = i;
				if (dfs(i, num + 1))//第一次dfs成功的一定是最大的
					return 1;
			}
		}
	}
	ans = max(ans, num);
	return (ans == max(num, ans) ? 0 : 1);
}
void maxclique() {
	for (int i = n; i > 0; i--)
	{
		vis[0] = i;
		dfs(i, 1);
		cnt[i] = ans;
	}
}
int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			cin >> g[i][j];
			g[j][i] = g[i][j];
		}
	maxclique();
	cout << cnt[1];
	return 0;
}
/*
5
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
0 1 1 0 1 
1 0 0 1 1
1 1 1 1 1
*/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
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20
21
22
23
24
25
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28
29
30
31
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33
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44
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