欧拉筛和埃氏筛（超详细分析筛选过程，差异，证明，时间比较）

分析之前我们先看一下埃氏筛和欧拉筛的代码：

1.Eraosthenes（埃拉托斯尼筛法）埃氏筛法

时间复杂度O（nlogn）

const int maxn=2e6+6;
bool isprime[maxn];
void seive(){
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    isprime[0]=isprime[1]=false;
    for(int i=2;i<=maxn-6;i++){
        if (isprime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= maxn-6; j += i) {
                isprime[j] = false;
            }
        }
    }
}

2.欧拉筛法

时间复杂度O（n）

const int N = 1e8 + 3;
bool isprime[N];
int prime[N],cnt;
void ola(int n) {
	memset(isprime, true, sizeof(isprime));
	isprime[1] = 0;
 
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (isprime[i]) prime[++cnt] = i;//如果i没有被前面的数筛掉，则i是素数
 
		for (int j = 1; j<=cnt&&prime[j] <= n/i; j++) {//j枚举已经筛出的素数，该循环起到筛掉枚举素数的倍数的作用
			isprime[i * prime[j]] = 0;//把i*prime[j]筛掉
			if (i % prime[j] == 0) break;//保证不会重复筛
		}
	}
}

详细筛选过程：

埃氏筛：

假如要筛选素数的范围为1~20000

用isprime[i] 来表示 i 是否为素数

首先把所有的 isprime[] 里面的值都置为true

首先对于0 和 1 设置为false 表示不为质数

用 i 表示从 2 遍历到20000 如果 i 是 素数就进行操作

大体进行流程：

---

从2开始

将2*2、3*2、4*2、5*2、、、、、、10000*2 所有得到的值

isprime[i] 置为false 表示他们都不是素数

---

然后从3开始

将2*3、3*3、4*3、5*3、、、、、、6666*3 所有得到的值

isprime[i] 置为false 表示他们都不是素数

---

然后从4开始（注意这里的4不是素数，故不进行筛选）

---

然后从5开始

将2*5、3*5、4*5、5*5、、、、、、4000*5 所有得到的值

isprime[i] 置为false 表示他们都不是素数

---

、、、、、、

---

最后从20000结束循环（注意这里的20000不是素数，故不进行筛选）

---

最终我们得到的所有的isprime[i] 里面为true 的即为素数

欧拉筛：

假如要筛选素数的范围为1~20000

用isprime[i] 来表示 i 是否为素数

首先把所有的 isprime[] 里面的值都置为true

首先对于0 和 1 设置为false 表示不为质数

用 i 表示从 2 遍历到20000 如果 i 是 素数就进行操作

（操作：对于每一个 i 乘上已经得到的所有素数，如果遇见了i 可以整除的质数，跳出循环，对于i+1进行操作）

大体进行流程：

---

从2开始

将2*2得到的值

isprime[i] 置为false 表示他都不是素数

---

从3开始

将2*3、3*3得到的值

isprime[i] 置为false 表示他都不是素数

---

从4开始

将2*4得到的值（注意这里对于3*4没有进行筛选，因为4可以整除2，那么就不需要筛后面的数）

isprime[i] 置为false 表示他都不是素数

---

从5开始

将2*5、3*5、5*5得到的值

isprime[i] 置为false 表示他都不是素数

---

 、、、、、、

---

从20000结束循环（因为2*20000大于我们要找的范围，故直接退出）

---

最终我们得到的所有的isprime[i] 里面为true 的即为素数

为什么欧拉筛会比埃氏筛更快：

对于埃氏筛：

大家很容易就可以发现在筛的过程中例如对于6就有重复的筛选。而这一些重复的筛选就使我们筛选的过程中出现的时间的浪费。

对于欧拉筛：

欧拉筛效率高的原因：不重复筛选

欧拉筛特点：合数都是被它的最小素因子筛去的

由上面两点我们就可以得到欧拉筛在筛的时候，将埃氏筛重复筛的过程跳过了，这样就使欧拉筛的时间消耗更小。

筛法做法正确简单证明：

埃氏筛：

例如对于 i=11 ，我们循环 i 到 11 的时候可以直接判断它为素数

原因：

前面所有比11 小的质数 例如2 、3、5、7 都已经把

他们能乘出来的所有合数都筛掉了

那么我们遍历到11的时候就可以直接判断它是否是合数了

欧拉筛：

欧拉筛是从1~20000遍历一遍

然后每一次遍历的时候和所有已经筛出来的素数相乘

虽然和埃氏筛的筛法不一样

但从总体来看我们可以发现筛选的数和埃氏筛差不多

只是去掉了重复的部分：（对于合数能够整除质数的退出操作保证了不会对重复数据进行筛选）

Devc++ 1~20000筛选时间比较：（左为埃氏筛，右为欧拉筛）

埃氏筛代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
 
const int maxn=2e6+6;
const int N=20000;
bool isprime[maxn];
 
void seive(){
    memset(isprime,true,sizeof(isprime));
    isprime[0]=isprime[1]=false;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if (isprime[i]) {
            for (int j = i * i; j <= N; j += i) {
                isprime[j] = false;
            }
        }
	}
}
 
int main(){
	seive();
	
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=20000;i++){
		if(isprime[i]){
			sum++;
			
			if(sum%5==0){
			printf("%d\n",i);
			}else{
				printf("%d ",i);
			}
		}
	}
	return 0;
}

欧拉筛：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
 
const int maxn=2e6+6;
const int N=20000;
bool isprime[maxn];
int prime[N];
int cnt;
 
void ola(int n) {
	memset(isprime, true, sizeof(isprime));
	isprime[1] = 0;
 
	for (int i = 2; i <= n; i++) {
		if (isprime[i]) prime[++cnt] = i;//如果i没有被前面的数筛掉，则i是素数
 
		for (int j = 1; j<=cnt&&prime[j] <= n/i; j++) {//j枚举已经筛出的素数，该循环起到筛掉枚举素数的倍数的作用
			isprime[i * prime[j]] = 0;//把i*prime[j]筛掉
			if (i % prime[j] == 0) break;//保证不会重复筛
		}
	}
}
 
 
int main(){
	ola(20000);
	
	int sum=0;
	for(int i=1;i<=cnt;i++){
		if(i%5!=0)
			cout<<prime[i]<<" ";
		else
			cout<<prime[i]<<endl;
	}
	return 0;
}