【LeetCode】动态规划 刷题训练(一）_动态规划leetcode练习

面试题 08.01. 三步问题

点击查看: 三步问题

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果模1000000007。

示例1:
输入：n = 3
输出：4
说明: 有四种走法
示例2:
输入：n = 5
输出：13

题目解析

当n==1时
只能从 0走到1 ，即0->1 ， 所以只有1 种方法

当n==2时
可以从 0->2 ，有1种 方法
可以从 1->2 ， 而0到1 只有1种方法，而1到2只需加一步，所以有2种方法
最终 1+1 ，共有2种方法

当n==3时
从0->3 有1种方法
从1->3 ，因为0->1只有1种方法，而1到3只需加一步 ，所以 有1种方法
从2->3，因为0->2有2种方法 ，而2到3只需加一步，所以有2种方法
最终 1+1+2 ，共有 4种方法

当n==4时
因为 最多一次 走 3步，所以 0->4 不成立
从1->4，因为0->1 有1种方法，而1到4只需加一步，所以有1种方法
从2->4，因为0->2 有2种方法，而2到4只需加一步，所以有2种方法
从3->4，因为0->3有3种方法，而3到4只需加一步，所以有3种方法
最终 1+2+3， 共有7种方法

---

状态转移方程

以i位置为结尾
dp[i]代表到达i位置时，共有多少种方法

---

状态转移方程
以 i 位置的状态，最近的一步划分问题

dp[i]分三种情况考虑，
从i-1位置到i位置 即dp[i-1]
从i-2位置到i位置 即dp[i-2]
从i-3位置到i位置 即dp[i-3]

dp[i]= dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]

完整代码

class Solution {
public:
    int waysToStep(int n) {
    if(n==1||n==2)
    {
        return n;
    }
    if(n==3)
    {
        return 4;
    }
    vector<int>dp(n+1);
    
    dp[1]=1;
    dp[2]=2;
    dp[3]=4;
    int i=0;
    for(i=4;i<=n;i++)
    {
        dp[i]=( (dp[i-1]+dp[i-2])%1000000007+dp[i-3])%1000000007;
    }
    return  dp[n];
    }
};
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在计算状态转移方程时，不能将三个加一起后在取模 ，否则会报错
在 dp[i-1] 与dp[i-2] 相加时就需要取模，然后与dp[i-3]相加时 再取模

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746. 使用最小花费爬楼梯

点击查看：使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：
输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 15 。

题目解析

从下标0处开始，可以花费10块 到下标为1处 ，也可以到下标为2处
但是 下标为2处并不是 楼顶，因为此处若为楼顶的话，则最小花费应为10，而不是15 ，
所以楼顶为 cost 数组 最后一个元素的下一个

---

从下标为1的位置开始，可以到下标为2处，也可以到楼顶处

状态转移方程

dp[i] 代表 达到 i 位置时 的最小花费
而i位置 的最小花费，又是 通过 i-1位置 的最小花费 和 i-2位置的最小花费 综合的最小花费 而得来的

---

dp[i] 可以分为

1. 先达到i-1位置，支付coost[i-1]，走一步
dp[i-1]代表 达到i-1位置的最小花费 ，cost[i-1]代表 i-1位置所需费用
即 dp[i-1]+cost[i-1]

2. 先达到 i-2位置，支付cost[i-2]， 走两步
dp[i-2]代表 达到i-2位置的最小花费 ，cost[i-2]代表 i-2位置所需费用
即 dp[i-2]+cost[i-2]

动态转移方程
dp[i]= min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);

完整代码

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
      vector<int>dp(cost.size()+1,0);
      dp[0]=0;
      dp[1]=0;
      int i=0;
      for(i=2;i<cost.size()+1;i++)
      {
          dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
      }
      return dp[cost.size()];
    }
};
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对于状态转移方程，下标为0和下标为1的位置是没办法使用的，会造成越界
题中说可以选择从0或者1位置开始爬楼梯 代表两个位置是没有花费的
即 dp[0] =0 ,dp[1]=0

91. 解码方法

点击查看:解码方法

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下映射进行了 编码 ：
‘A’ -> “1”
‘B’ -> “2”
‘Z’ -> “26”
要 解码 已编码的消息，所有数字必须基于上述映射的方法，反向映射回字母（可能有多种方法）。例如，“11106” 可以映射为：
“AAJF” ，将消息分组为 (1 1 10 6)
“KJF” ，将消息分组为 (11 10 6)
注意，消息不能分组为 (1 11 06) ，因为 “06” 不能映射为 “F” ，这是由于 “6” 和 “06” 在映射中并不等价。
给你一个只含数字的 非空 字符串 s ，请计算并返回 解码 方法的 总数 。
题目数据保证答案肯定是一个 32 位 的整数。

示例 1：
输入：s = “12”
输出：2
解释：它可以解码为 “AB”（1 2）或者 “L”（12）。

示例 3：
输入：s = “06”
输出：0
解释：“06” 无法映射到 “F” ，因为存在前导零（“6” 和 “06” 并不等价）。

题目解析

若将其 分为1和2，则 分别对应 A和B
若 将其看作一个整体，则 对应为L

---

若将其分为0和6，则0没有对应字母
若将其 看作一个整体，不允许 存在前导0 表示

状态转移方程

dp[i] 表示 以i位置为结尾时，解码方法的总数

情况1：让i位置的数，单独去解码

单独解码的数 需要在1-9，所以会存在 成功/失败的情况

若解码成功，则i位置对应的数字 为1-9之间，相当于把0到i-1位置的所有解码方案 后面加上一个字符，
整体解码的数量就为以i-1位置结尾的数量 即dp[i-1]

若解码失败，则全部失败 ，解码数为0
如: 60 单独计算，6为F，而0不存在 对应数， 所以没有解码成功

情况2：让i位置的数 和i-1位置的数 结合 一起去解码

若解码成功，则结合的数字 为 10-26之间，相当于在0到i-2位置的所有解码方案 后面加上一个字符，
整体解码的数量就为 以i-2结尾的的数量 即dp[i-2]

若解码失败，则全部失败 ，解码数为0

---

dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
dp[i-1] 和dp[i-2]只有在解码成功时，才会加上，否则为0

完整代码

class Solution {
public:
    int numDecodings(string s) {
       vector<int>dp(s.size());
        int i=0;

        //初始化
        if(s[0]!='0')
        {
            dp[0]=1;
        }
        else 
        {
            dp[0]=0;
        }
        
        //有可能s字符串只有一个数字 
        if(s.size()==1)
        {
            return dp[0];
        }

       if(s[0]!='0'&&s[1]!='0')
       {
           dp[1]++;
       }
       //因为s[0]存的是字符，所以选哟减去'0'，从而获取数字
       int sum=(s[0]-'0')*10+(s[1]-'0');
       if(sum>=10&&sum<=26)
       {
           dp[1]++;
       }

        for(i=2;i<s.size();i++)
        {
            //说明可以单独编码成功
           if(s[i]!='0')
           {
             dp[i]+=dp[i-1];
           }

             //说明可以结合编码成功
            int sum=(s[i-1]-'0')*10+(s[i]-'0');
         
            if(sum>=10&&sum<=26)
            {
                dp[i]+=dp[i-2];
            }

        }
        return dp[s.size()-1];
    }
};
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初始化
dp[0] 表示 只有一个数字
若数字 处于1-9之间，则解码成功，返回1
若数字 为0，则解码失败 ，返回0

dp[1] 表示 两个数字
可以分为 两个数字 单独解码 和 结合起来解码

若 单独解码 成功，则解码数+1，否则为0
若结合起来解码 成功，则解码数+1，否则为0
所以有 0 1 2 三种情况