python素数最优算法_几种简单的求素数算法的复杂度分析

素数的算法有很多种，现在主要讲两种算法及其改进版本的复杂度分析，解释性能提升的幅度。同时应用一个素数定理：素数的平方一定是合数，那么在范围内最大数的开方范围内找不到能整除的数，那么这个数是素数。应用这个定理可以将取模范围的空间复杂度从Ｏ(n)降为O(n**0.5).现以求100000内素数为例，两种算法分别是：

１．基础思路是去掉偶数，包括取模的范围，代码如下：

print(2)

for i in range(3,100000,2):

for a in range(3,int(i**0.5)+1,2):

if i%a == 0:

break

else:

print(i,end = ' ')

'''

*此两层循环的算法的计算复杂度为(0.5*n*((n**0.5)+1)/2)，空间复杂度为Ｏ(n**1.5)

２．应用一个素数定理：大于６的素数一定与６的倍数相邻，代码如下：

'''

print(2,3,end = ' ')

n = 100000

i = 5

step = 2

while i<= n:

for j in range(5,int(i**0.5)+1,2):

if j%j == 0:

break

else:

count += 1

i += step

step = 4 if step ==2 else 2

'''

此算法的计算复杂度为(n/3052)(n0.5+1)/2(将总范围分成３０为一块，则６的倍数有５个，相邻的数就是１０个)，空间复杂度同样为Ｏ(n1.5)

优化思路：

对于１号算法，我们知道末尾是５的数一定能被５整除，所以末位是５的数一定不是素数，j计算复杂度可以降为0.4*n*((n**0.5+1)*0.4)。不是偶数且末为不是５，就剩(１，３，７，９)，所以４/10=0.4,第二层循环也是如此。优化效率提升56%(0.5**2/0.4**2-1=0.56)。

对于２号算法，思路也是刨去末位为５的数。例如，30~60这一块内，６的倍数有(36,42,48,54,60),相邻的数是(35,37,41,43,47,49,53,55,59,61),有两个末位是５的数(35,55),所以将总范围分成３０为一块，只需计算８个数，优化后空间复杂度为(n/30*(5*2-2))*(n**0.5+1)*0.4=4/15*n*(n**0.5+1)*0.4。相比优化后的１号算法，优化后的２号算法效率提升50%(其余项约分，只剩0.4/(4/15),所以0.4/(4/15)-1=0.5)。

综上可见，降低算法复杂度是提高解决问题效率的不二法门。