笔触狂放9

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数学建模常用模型_数学建模哪个模型简单

作者：笔触狂放9 | 2024-07-28 03:47:24

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数学建模哪个模型简单

第一讲：层次分析法

建模比赛中最基础的模型，主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好，哪位运用动员或者员工的表现更优秀）。

评价类问题主要依据权重（重要性权重）来解决：

例如高考选择学校时，有A和B两个学校进行学习，那么如何挑选学校就是一个问题了。

则我们依据权重对学习氛围，就业前景，男女比例，校园景色逐一进行权重分析。

权重分析表
	指标权重	A	B
学习氛围	0.4	0.7	0.3
就业前景	0.3	0.5	0.5
男女比例	0.2	0.3	0.7
校园景色	0.1	0.25	0.75

同一指标的权重和为一,则结果：

A=0.4*0.7+0.3*0.5+0.2*0.3+0.1*0.25=0.515

B=0.4*0.3+0.3*0.5+0.2*0.7+0.1*0.75=0.485

在选择时根据这章权重分析表可以简单选出自己心仪的学校

再引入一个例子：假如小明想去旅游。粗略的检索了网上的资料后确定了，黄山，稻城，武当山三个地方作为目标景点。请你确定评价指标，形成评价体系来为小明选出最佳方案。

首先解决此类问题，也就是评价类问题，首先要想到三个问题：

1-我们评价的目标是什么？

2-我们为了到达目标有几种方案？

3-评价的准则或者说目标是什么？（根据什么来评价好坏）

前两个问题显而易见的，从题目中可以直接读出来。但是第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料，常识以及网上搜集到的参考资料结合，以此选出最合适的指标。

对于本问题分析得出五个指标景色，花费，居住，饮食，交通等五个指标。

人的思想千变万化对于同一个问题的答案可能每天都不相同，所以不可能直接让小明对所有指标进行判断，所以我们分而治之，对两个指标两个指标相互比较，最终推算出权重。

标度	含义
1	表示两个因素相比，同样重要
3	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要
5	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要
9	表示两个因素相比，一个因素比另一个因素重要
2，4，6，8	上述相邻判断的中值
倒数	A/B=3则B/A=1/3

对于五个指标和三个景色对应的五个指标下的权重，我们引入权重列表。

	景色	话费	居住	饮食	交通
景色	1	1/2	4	3	3
花费	2	1	7	5	5
居住	1/4	1/7	1	1/2	1/3
饮食	1/3	1/5	2	1	1
交通	1/3	1/5	3	1	1

这是对于指标的权重分析法：上表一个5*5的方阵，我们记作A，对应元素为 $a_{ij}$ ：

（1） $a_{ij}$ 的意义是，与指标j相比，i的重要程度

（2）当i=j的时候，两个指标相同，因此同等重要记为1

（3）当每个元素都大于0，且 $a_{ij}*a_{ji}$ =1时，我们称这个矩阵叫做正互反矩阵。

这个矩阵也叫作层次分析法的判断矩阵。

但填写判断矩阵可能会引发一些问题：

景色	稻城	武当山	黄山
稻城	1	2	1
武当山	1/2	1	2
黄山	1	1/2	1

细心观察就会发现其中的逻辑性问题！稻城=A 武当山=B 黄山=C 则 A> B A=C B>C 出现了矛盾之处（不一致现象）

	景色	话费	居住	饮食	交通
景色	1	1/2	4	3	3
花费	2	1	7	5	5
居住	1/4	1/7	1	1/2	1/3
饮食	1/3	1/5	2	1	1
交通	1/3	1/5	3	1	1

上表一个5*5的方阵，我们记作A，对应元素为 $a_{ij}$ 我们将这种没有矛盾的矩阵成为一致矩阵

一致矩阵需要满足三个条件（1）每一个元素都大于0

（2）左向下对角元素均为一

（3）各行各列对应成比例

由一致矩阵可以总结出：n阶一致矩阵的一个特征值为n，其余特征值均为零。

当特征值为n时又可以得到，其对应的特征向量刚好为

$\frac{1}{a_{11}}$ ， $\frac{1}{a_{12}}$ ........ $\frac{1}{a_{1n}}$

引理：n阶正互反矩阵A为一致矩阵时当且仅当最大特征值为n，而当A为非特征矩阵时，一定有最大特征值大于n，判断矩阵越不一致则与n的差值就越大。

一致性检验的步骤：

第一步：计算一致性指标CI

$CI=\frac{\lambda _{max}-n}{n-1}$

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
RI	0	0	0.52	0.89	1.12	1.26	1.36	1.46	1.49	1.52	1.54	1.54	1.56	1.58	1.59

第三步：计算一致性比例

$CR=\frac{CI}{RI}$

如果一致性比例CR<0.1，则可以认为该判断矩阵的一致性比例可以接受：否则就需要对判断矩阵修正。

判断矩阵及计算权重

方法一：算数平均法求权重

景色	稻城	武当山	黄山
稻城	1	2	5
武当山	1/2	1	2
黄山	1/5	1/2	1

第一步：将判断矩阵按照归一化处理（每一个元素除以所在列的和）

景色	稻城	武当山	黄山
稻城	0.5882	0.5714	0.625
武当山	0.2941	0.2857	0.25
黄山	0.1177	0.1429	0.125

第二步：将归一化的各行各列相（按行求和）

	权重
稻城	0.5882+0.2941+0.1177=1.7846
武当山	0.5714+0.2857+0.1429=0.8298
黄山	0.625+0.25+0.125=0.3856

第三步：将相加后得到的数值除以n得到权重

	权重
稻城	1.7846/3=0.5949
武当山	0.8298/3=0.2766
黄山	0.3856/3=0.1285

假设判断矩阵A

$\bg_white \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& ... & a_{1n} & \\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n} & \\ ... & ...& ... & ... & \\ a_{n1} &a_{n2} & ...& a_{nn} & \end{bmatrix}$

那么算数平均法求得的权重向量为 $\omega _{i}=\frac{1}{n}\sum_{n}^{j=1}\frac{a^{_{ij}}}{\sum_{k=1}^{n}a_{ki}}$ （i=1,2,3,4...........）

方法二：特征值求权重

如果一致性检验可以接受那么可以仿照一致矩阵求权重的方法。

第一步：求出矩阵A的最大特征值以及对应的特征向量

第二步：对求出的特征向量归一化处理就可得到权重

景色	稻城	武当山	黄山
稻城	1	2	5
武当山	1/2	1	2
黄山	1/5	1/2	1

最大特征值为3.0055，一致性比例CR=0.0053，对应的特征向量位[-0.8902,-0.4132,-1918],对其归一化处理后，[0.5954,0.2764,0.1283]

方法三：几何平均法求权重

第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的向量

第二步：将新向量的每个分量开n次方

第三步：对此向量进行归一化处理即可得到权重。

假设判断矩阵A

$\bg_white \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& ... & a_{1n} & \\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n} & \\ ... & ...& ... & ... & \\ a_{n1} &a_{n2} & ...& a_{nn} & \end{bmatrix}$

那么几何平均法求得的权重向量 $\omega _{i}=\frac{(\prod_{j=1}^{n}a_{ij})^{\frac{1}{n}}}{\sum_{k=1}^{n}(\prod_{j=1}^{n}a_{kj})^{\frac{1}{n}}}$ （i=1,2,3,4...........）

后面就是将各项权重计算而出，得到最终结果。

总结：层次分析法第一步需要分析系统各因素关系，建立系统的递阶层次结构。

如果用到了层次分析法一定要将层次结构图画出。

参差分析法的局限性：

（1）可决策层数不能太多，太多了n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异可能会很大。

（2）如果决策层中的指标数据已知，那么用层次分析法就不是那么准确了。

第二讲：优劣解距离法

承接上文参差分析法中，层次分析法当给出了精确数值时就显得不是那么准确了。当决策层中的数据已知时怎样让决策更加准确呢？

类举一个例子：

姓名	分数
小明	89
小王	60
小张	74
小刘	99

请你为这四名同学进行评分，该评分能合理的描述其高数成绩的高低。

如果按照上节层次分析法的思想来求，

姓名	分数	排名	修正后的排名	评分
小明	89	2	3	0.3
小王	60	4	1	0.1
小张	74	3	2	0.2
小刘	99	1	4	0.4

如果保持排名不变，则可以随意修改分数，那么小王考60和考10分的结果就是相同的。这显然是不合理的。

那么我们就必须用到本节需要学习到的优劣解距离法：

对于列表中的数据我们在进行处理后进行归一化，我们引入这样一个公式 $\frac{X-min}{max-min}$

姓名	分数	未归一化评分	归一化评分
小明	89	0.74	0.35
小王	60	0	0
小张	74	0.36	0.17
小刘	99	1	0.48

对于这个公式的解释有三点：

（1）比较的对象一般要远大于两个。（例如比较一个班级的成绩）

（2）比较的指标也往往不只是一个方面的，例如成绩、工时数、课外竞赛得分等。

（3）有很多指标不存在理论上的最大值和最小值，例如衡量经济增长水平的指标：GDP 增速。

所以我们引入评分的公式： $\frac{X-min}{max-min}$

当我们给指标增加个数时：

现在我们新增一个指标如表：

姓名	分数	与人争吵次数
小明	89	2
小王	60	0
小张	74	1
小刘	99	3

指标共有四种类型

指标名称	指标特点	例子
极大型指标（效益型指标）	越大（多）越好	成绩、 GDP 增速、企业利润
极小型指标（成本型指标）	越小（少）越好	费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	水质量评估时的 PH 值
区间型指标	落在某个区间最好	体温、水中植物性营养物量

而对一个数据用优劣解距离法进行处理时分为三步。

第一步：原始矩阵正向化处理

顾名思义，所谓的将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。（转换的函数形式可以不唯一哦~ ）

极小型指标转换为极大型指标：

公式： max-X （如果所有元素都为正数，也可以实用 $\frac{1}{X}$ ）

中间型转换为极大型：

中间指标即不要太大也不要太小，取某一特定的值最好。（列如水的pH值）

{ $X_{i}$ }是一组中间型指标序列，且最佳的数值为 $X_{best}$ ，那么正向化的公式有：

$M=max\left \{ \left | X_{i}-X_{best} \right | \right \}$ ， $X_{i}^{'}=1-\frac{\left | X_{i}-X_{best} \right |}{M}$

区间型指标转换为极大型：

区间型指标：指标值落在某个区间内最好，例如人的体温在36°～37°这个区间比较好。

$\left \{ X_{i} \right \}$ 是一组区间型指标，且最适区间为 $\left [ a,b \right ]$ 那么正向化的公式如下：

$M=max\left \{ a-min\left \{ X_{i} \right \},max\left \{ X_{i} \right \}-b \right \}$ , $X_{i}^{'}=\left\{\begin{matrix} 1-\frac{a-X_{i}}{M},X_{i}<a& & \\ 1,a\leqslant X_{i}\leq b & & \\ 1-\frac{X_{i}-b}{M},X_{i}>b& & \end{matrix}\right.$

第二步：正向矩阵标准化

标准化的目的是消除不同量纲的影响。

假设有n个要评价的对象，m个评价指标，构成的正向化矩阵如下所示：

$X=\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & ... & x_{1m} & \\ x_{21} & x_{22} & ... &... & \\ ... & ...& ...& ...& \\ x_{n1} & x_{n2} & ...& x_{nm} & \end{bmatrix}$

那么对其中每一个元素除以所在列所有元素得平方和开方：

记标准化后的矩阵为Z，则 $Z_{ij}=\frac{X_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}}X{_{ij}}^{2}}$

注意：标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响，未来我们还可能见到更多

种的标准化方法，例如： (x‐x 的均值 )/x 的标准差；具体选用哪一种标准化的方法在多数情况下

并没有很大的限制，这里我们采用的是前人的论文中用的比较多的一种标准化方法。

第三步：计算得分并归一化

假设有n个要评价的对象，m个评价指标，构成的标准化矩阵如下所示：

$X=\begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & ... & x_{1m} & \\ x_{21} & x_{22} & ... &... & \\ ... & ...& ...& ...& \\ x_{n1} & x_{n2} & ...& x_{nm} & \end{bmatrix}$

定义最大值 $X^{+}=\left ( X_{1}^{+} , X_{2}^{+}, X_{3}^{+}..... X_{m}^{+}\right )$ （ $X_{n}^{+}$ 是每一列的最大值）

定义最小值 $X^{-}=\left ( X_{1}^{-}, X_{2}^{-}... X_{m}^{-}\right )$ （ $X_{m}^{-}$ 是每一列的最小值）

定义第i（i=1,2,3....n）个评价对象与最大值的距离 $D_{i}^{+}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\varpi _{j}\left ( x_{j}^{+} -x_{ij}\right )^{2}}$

定义第i（i=1,2,3....n）个评价对象与最小值的距离 $D_{i}^{-}=\sqrt{\sum_{j=1}^{m}\varpi _{j}\left ( x_{j}^{-} -x_{ij}\right )^{2}}$

这里 $\omega _{i}=1$

那么，我们可以计算出第i（i=1,2,3....n）评价对象未归一化的得分： $S_{i}=\frac{D_{i}^{-}}{D_{i}^{+}+D_{i}^{+}}$

然后我们可以进行归一化： $S_{i}^{'}=\frac{S_{i}}{\sum_{i=1}^{n}S_{i}}$

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