二分法题型与相似题目通用解法总结 leetcode 33、81、153、154 搜索旋转排序数组系列题_与二分法类似或有关的算法

算法刷题笔记——day8

前言

近期leetcode每日一题连续三天都出了二分相关的问题

本文章对几道题做了一个整合

题解非原创，原创是leetcode大佬**宫水三叶**，我只是做整合

原文链接

「二分」相关题解

• 二分模板
  29. 两数相除 : 二分 + 倍增乘法解法（含模板）

• 二分本质 & 恢复二段性处理

  33. 搜索旋转排序数组（找目标值） : 严格 O(logN)，一起看清二分的本质

  81. 搜索旋转排序数组 II（找目标值） : 详解为何元素相同会导致 O(n)，一起看清二分的本质

  153. 寻找旋转排序数组中的最小值（找最小值） : 严格 O(logN)，一起看清二分的本质

  154. 寻找旋转排序数组中的最小值 II（找最小值） : 详解为何元素相同会导致 O(n)，一起看清二分的本质

• 二分 check 函数如何确定
  34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 : 考察对「二分」的理解，以及 check 函数的「大于 小于」怎么写

题目一

33. 搜索旋转排序数组

难度中等1316

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了 旋转，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 在下标 3 处经旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1 。

示例 1：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0
输出：4
1
2

示例 2：

输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3
输出：-1
1
2

示例 3：

输入：nums = [1], target = 0
输出：-1
1
2

提示：

• 1 <= nums.length <= 5000
• -10^4 <= nums[i] <= 10^4
• nums 中的每个值都 独一无二
• 题目数据保证 nums 在预先未知的某个下标上进行了旋转
• -10^4 <= target <= 10^4

**进阶：**你可以设计一个时间复杂度为 O(log n) 的解决方案吗？

题解

朴素解法

但凡是从有序序列中找某个数，我们第一反应应该是「二分」。

这道题是一个原本有序的数组在某个点上进行了旋转，其实就是将原本一段升序的数组分为了两段。

我们可以先找到旋转点 idx，然后对 idx 前后进行「二分」：

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        int idx = 0;
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            if (nums[i] > nums[i + 1]) {
                idx = i;
                break;
            }
        }
        int ans = find(nums, 0, idx, target);
        if (ans != -1) return ans;
        if (idx + 1 < n) ans = find(nums, idx + 1, n - 1, target);
        return ans;
    }
    int find(int[] nums, int l, int r, int target) {
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (nums[mid] >= target) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        return nums[l] == target ? l : -1;
    }
}
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• 时间复杂度：先对数组进行一次遍历，找到 idx，复杂度为 O(n)O(n)，对 idx 前后进行二分查找，复杂度为 O(\log{n})O(logn)。整体为 O(n)O(n)
• 空间复杂度：O(1)O(1)

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二分解法

不难发现，虽然在朴素解法中我们应用了「二分」查找。

但理论复杂度为 O(n)O(n)，实际复杂度也远达不到 O(\log{n})O(logn)，执行效率取决于旋转点 idx 所在数组的下标位置。

那么我们如何实现 O(\log{n})O(logn) 的解法呢？

这道题其实是要我们明确「二分」的本质是什么。

「二分」不是单纯指从有序数组中快速找某个数，这只是「二分」的一个应用。

「二分」的本质是两段性，并非单调性。只要一段满足某个性质，另外一段不满足某个性质，就可以用「二分」。

经过旋转的数组，显然前半段满足 >= nums[0]，而后半段不满足 >= nums[0]。我们可以以此作为依据，通过「二分」找到旋转点。

找到旋转点之后，再通过比较 target 和 nums[0] 的大小，确定 target 落在旋转点的左边还是右边。

class Solution {
    public int search(int[] nums, int target) {
        int n = nums.length;
        if (n == 0) return -1;
        if (n == 1) return nums[0] == target ? 0 : -1;

        // 第一次「二分」：从中间开始找，找到满足 >=nums[0] 的分割点（旋转点）
        int l = 0, r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (nums[mid] >= nums[0]) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }

        // 第二次「二分」：通过和 nums[0] 进行比较，得知 target 是在旋转点的左边还是右边
        if (target >= nums[0]) {
            l = 0;
        } else {
            l = l + 1;
            r = n - 1;
        }
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (nums[mid] >= target) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }

        return nums[r] == target ? r : -1;
    }
}
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• 时间复杂度：O(\log{n})O(logn)
• 空间复杂度：O(1)O(1)

题目二

81. 搜索旋转排序数组 II

难度中等414

已知存在一个按非降序排列的整数数组 nums ，数组中的值不必互不相同。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了 旋转 ，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。例如， [0,1,2,4,4,4,5,6,6,7] 在下标 5 处经旋转后可能变为 [4,5,6,6,7,0,1,2,4,4] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，请你编写一个函数来判断给定的目标值是否存在于数组中。如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回 true ，否则返回 false 。

示例 1：

输入：nums = [2,5,6,0,0,1,2], target = 0
输出：true
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示例 2：

输入：nums = [2,5,6,0,0,1,2], target = 3
输出：false
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提示：

• 1 <= nums.length <= 5000
• -104 <= nums[i] <= 104
• 题目数据保证 nums 在预先未知的某个下标上进行了旋转
• -104 <= target <= 104

进阶：

• 这是 搜索旋转排序数组 的延伸题目，本题中的 nums 可能包含重复元素。
• 这会影响到程序的时间复杂度吗？会有怎样的影响，为什么？

题解

二分解法

根据题意，我们知道，所谓的旋转其实就是「将某个下标前面的所有数整体移到后面，使得数组从整体有序变为分段有序」。

但和 33. 搜索旋转排序数组 不同的是，本题元素并不唯一。

这意味着我们无法直接根据与 nums[0]num**s[0] 的大小关系，将数组划分为两段，即无法通过「二分」来找到旋转点。

因为「二分」的本质是二段性，并非单调性。只要一段满足某个性质，另外一段不满足某个性质，就可以用「二分」。

如果你有看过我 【宫水三叶】严格 O(logN)，一起看清二分的本质 这篇题解，你应该很容易就理解上句话的意思。如果没有也没关系，我们可以先解决本题，在理解后你再去做 33. 搜索旋转排序数组，我认为这两题都是一样的，不存在先后关系。

举个