机器学习 -- 梯度下降算法加深

梯度下降算法

在机器学习中，梯度下降算法常用于最小化代价函数（或损失函数），以此来优化模型的参数。代价函数衡量的是模型预测值与实际值之间的差异。通过最小化这个函数，我们可以找到模型预测最准确的参数。

代价函数

代价函数（Cost Function）或损失函数（Loss Function），是用来衡量模型预测值与真实值之间差异的一个函数。在回归问题中，一个常见的代价函数是均方误差

其中n是样本数量，yi是样本的真实值，被减去的则是预测值，这个值越小，说明预估越接近真实值。

实际案例：从简单线性回归理解梯度下降算法

假设我们有一组数据，表示房屋的大小与其价格的关系。我们想要构建一个简单的线性回归模型来预测房价，模型形式为
y=wx+b，其中 y 是房价，x 是房屋大小，w 是斜率，b 是截距。
第一步要做的是：初始化模型参数：随机选择w 和 b 的初始值，比如 w=0 和 b=0。计算代价函数的梯度：首先，我们需要定义代价函数，这里我们使用均方误差。然后，计算代价函数关于每个参数的梯度。
我们随意给出一组数据：
（1，2），（2，4），（3，6）
我们的目的是尽量用y=wx+b去拟合这些数据。w梯度计算公式是：

b的则是

w=0,b=0得出得梯度分别是： -56/3和 -8。
这个线性模型是一条 y=0的直线，显然无法拟合这些数据.我们此时设置 w=0.1，b=0.1来拟合，又得到了两个梯度，可能这次的线性模型拟合度会好一些，那么再设置w=0.2,b=0.2，会不会又好一点呢？我们每次选用w,b都会得到一个预测值，然后我们可以算出他的代价函数（误差）值，我们就可以画出这样一张图。

其中我们要找的点就是误差最低的那一个点，我们可能会从任何地方出发，去找那个点，这个过程运用到的就是梯度下降算法

正式介绍

通过上面那个小例子，我们已经知道了，梯度下降算法常用于最小化代价函数（或损失函数），以此来优化模型的参数。代价函数衡量的是模型预测值与实际值之间的差异。通过最小化这个函数，我们可以找到模型预测最准确的参数。

抽象

我们可以抽象这个过程：想象一下，你在山顶，目标是以最快的速度下到山脚。因为你被蒙上了眼睛，看不见周围的环境，所以你只能通过感觉脚下的坡度来判断下一步该往哪个方向走。这个“感觉坡度”的过程，就有点像梯度下降算法的工作原理。

梯度的含义

“梯度”（Gradient）其实就是指函数在某一点上的斜率，或者说是这一点最陡的上升方向。梯度告诉你，如果你想让函数值增加得最快，应该往哪个方向走。相应地，梯度的反方向就是函数值下降最快的方向。

梯度下降的工作原理

梯度下降算法的核心思想就是：在当前位置计算梯度（即斜率），然后沿着梯度的反方向走一小步，重复这个过程，直到到达山脚（即找到函数的最小值点）。

梯度下降–专属案例

假设我们有一个函数
y=x^2这个求最小值，这个案例不是让你使用高中数学去解答，你可以不假思索回答是0，但是不是我想要学习的。
让我们以梯度下降的方式求解，初始化: 假设我们随机选择一个起点，x=2。计算梯度: 对f(x) 求导得到它的梯度 f(x)=2x。在x=2 处的梯度是4。此时我们更新x，我们假设我们走一小步，0.1那么此时x应该是：x = x - 学习率 * 梯度 = 2 - 0.1 * 4 = 1.6 计算此时的梯度，重复这个过程，直到x的更新值很小很小，无限趋近于0，此时实际上x的值(在y=x^2中)也无限趋近于0，y也趋近于0了。

注意事项

学习率的选择：学习率太大可能导致“跨过”最低点，甚至发散；学习率太小又会导致收敛速度很慢。因此，选择一个合适的学习率非常关键。收敛条件：通常会设置一个阈值，当连续两次迭代的x值变化非常小（小于这个阈值）时，我们就认为算法已经收敛。

结束

我们计算房价，假设线性模型，求w,b，我们使用均方误差（MSE）作为代价函数，来衡量模型预测值与实际值之间的差异，我们使用梯度下降模型计算w,b的梯度，得到了误差，我们通过控制迭代次数和学习率，不断的修改w,b，以使得误差越来越小，误差越来越小，即w，b的变化非常小或达到一个预设的迭代次数。这就是梯度下降算法。对于不同类型的机器学习问题，成本函数的选择也会不同。例如：回归问题：常用的成本函数是均方误差（Mean Squared Error, MSE），它计算的是预测值与实际值之间差异的平方的平均值。这个值越小，表示模型的预测越准确。分类问题：对于二分类问题，一个常见的成本函数是交叉熵（Cross-Entropy），它量化的是实际标签与预测概率之间的差异。
在梯度下降算法中，我们的目标是找到模型参数的值，这些参数值能使成本函数的值最小化。换句话说，我们希望找到的参数能让模型的预测尽可能接近实际情况，从而最小化误差。通过迭代地更新模型参数，梯度下降算法能够逐步逼近这个最优参数组合，实现成本的最小化。