网络流算法学习笔记——最大流问题基本概念和Ford-Fulkerson方法（标号法C++实现）_ff算法标记法

屈婉玲《算法设计与分析》第2版第7章网络流算法学习笔记。

基本概念

最大流问题，相当于有从s到t的供水系统，每段路径都有限定流量，除了s、t两地外，每个中间点都不能滞留，从s流入多少，就从t流出多少。求该网络能承载的最大流量。

容量网络：N。连通图N=<V，E，C，s，t>

容量：c(i, j)。每条边有一个非负实数c(i, j)代表边的容量

简单容量网络：边的容量均为1，所有中间点要么入度为1要么出度为1

发点/源点：s

收点/汇：t

中间点：除发点、收点外的顶点

可行流：f。设f：E->R*（非负实数集），f(i, j)表示从i到j的流量。满足：

1. 容量限制，即f(i, j)<=C(i, j)；
2. 平衡条件，即对于所有中间点，∑f(i, j) = ∑f(j, i)，总流入量=总流出量；

则称f是N上的一个可行流。

流量：v(f)。发点s净流出量，记做v(f) = ∑f(s, j) - ∑f(j, s)，总流出量-总流入量；收点的净流入量与之相等，即v(f) = ∑f(j, t) - ∑f(t, j)。

最大流：流量最大的可行流。

割集：(A, A补)。A是V的子集，且s∈A，t∈A补，称(A, A补)为网络N的割集，
割集就是将N切成分别包含发点和收点的两部分。

容量：c(A, Ã)。跨越割集两部分的所有边的容量和，记为(A, Ã) = ∑c(i, j)，i∈A，j∈Ã。由于N上的任何可行流都要流过从A流到Ã，所以可行流量（包括最大流）不可能超过割集容量，即：v(f) <= c(A, Ã)。

最小割集：容量最小的割集。

最大流最小割定理：容量网络的最大流的流量，等于最小割的容量。
若v(f) == c(A, Ã)，则f是最大流，(A, Ã)是最小割，即当流量等于割的容量时，此流为最大流，此割为最小割。因为割的容量大于等于最大流，一个能把割充满的流量一定是最大流了，此时割到的都是满流的要害路径（其它路径可能还有剩余流量），割到的正好是流量最小的路径，即是最小割。

Ford-Fulkerson方法

求最大流的经典方法，简称FF算法，属于贪心算法。

引入概念

饱和边：网络N中流量 == 容量的边；
非饱和边：网络N中流量 < 容量的边；

零流边：流量 == 0的边
非零流边：流量 > 0的边

i-j链：从顶点i到顶点j的一条边不重复的路径
前向边：与链的方向一致的边
后向边：与链的方向相反的边（后向边相当于是回流的边）
i-j增广链：链中所有前向边都非饱和，所有后向边都非零流

定理：可行流f是最大流等价于不存在f的s-t增广链。

基本步骤

从给定的初始可行流开始（通常取0流），寻找一条关于当前可行流的s-t增广链P，最大限度修改链上的流量，得到一个新可行流。

重复这个过程，直到找不到s-t增广链为止。

标号法寻找s-t增广链

有时称FF为method而非algorithm，因为它的实现算法可以有多种，寻找s-t增广链可以有多种方式。

屈婉玲《算法设计与分析》第2版教材中使用的是标号法。采用了类似广度优先搜索的方法，又不完全相同。如下面图例中图b，搜索顺序是s，1，2，3（广度优先的话应该是s，1，2，4）。

从s开始搜索，逐个给顶点标号，记录流量来源和流量大小，记为(l, d)。其中l = +i表示流量来源是i且<i, j>是前向边，l = -i表示来源是i且<j, i>是后向边（即是从i回流过来的）。

初始化i=s，标号为(-1, ∞)（从-1流过来的，流量有无穷大）。每一步取一个已标号的节点i，检查所有与之相连且未标号的节点j，找当前所有容量余量中的最小值：
若<i, j>是前向边且f(i, j) < c(i, j), 则取d = min{d, c(i, j) - f(i, j))，给j标号(+i, d)；（前向边容量剩多少，就还能留多少）
若<j, i>是后向边且f(j, i) > 0, 则取d = min{d, f(j, i))，给j标号(-i, d)。（后向边有多少流量，就最多能回流多少）

得到最小割

当找不到s-t增广链（最后一次循环）时，获得标号的顶点组成A，未获得标号的顶点组成Ã，(A, Ã)即为最小割集。

图例

以图7.2为例，模拟FF算法流程：

代码实现

输入：第一行输入节点数N（从0到N-1编号，0为发点，N-1为收点）和边数M；接下来M行，每行给出一条边<i, j>，用i j 容量描述，输入样例如下：
6 9
0 1 8
0 2 12
1 3 6
1 4 10
2 1 2
2 3 10
3 5 8
4 3 2
4 5 10

输出：最大流f(i, j)，用i j 流量描述；接下来一行打印发点发出的总流量；接下来两行分别输出最小割集A的顶点，和Ã的顶点。输出样例如下：
Maximum flow:
0 1 8
0 2 10
1 3 0
1 4 10
2 1 2
2 3 8
3 5 8
4 3 0
4 5 10
Total flow:
18
Minimum cut:
0 2 3
1 4 5

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;

void BFS(int s
1
2
3
4
5