2023年第十四届蓝桥杯Java_大学B组真题_蓝桥杯 魔法阵

【考生须知】
考试开始后，选手首先下载题目，并使用考场现场公布的解压密码解压试 题。
考试时间为 4 小时。考试期间选手可浏览自己已经提交的答案，被浏览的答案允许拷贝。时间截止后，将无法继续提交或浏览答案。
对同一题目，选手可多次提交答案，以最后一次提交的答案为准。
选手必须通过浏览器方式提交自己的答案。选手在其它位置的作答或其它 方式提交的答案无效。
试题包含“结果填空”和“程序设计”两种题型。
结果填空题：要求选手根据题目描述直接填写结果。求解方式不限。不要 求源代码。把结果填空的答案直接通过网页提交即可，不要书写多余的内容。
程序设计题：要求选手设计的程序对于给定的输入能给出正确的输出结果。 考生的程序只有能运行出正确结果才有机会得分。
注意：在评卷时使用的输入数据与试卷中给出的示例数据可能是不同的。 选手的程序必须是通用的，不能只对试卷中给定的数据有效。
所有源码必须在同一文件中。调试通过后，拷贝提交。 注意：不要使用 package 语句。
注意：选手代码的主类名必须为：Main，否则会被判为无效代码。
注意：如果程序中引用了类库，在提交时必须将 import 语句与程序的其他部分同时提交。只允许使用 Java 自带的类库。

试题 A: 阶乘求和

本题总分：5 分

【问题描述】
令 S = 1! + 2! + 3! + … + 202320232023!，求 S 的末尾 9 位数字。
提示：答案首位不为 0。

【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一 个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

试题 B: 幸运数字

本题总分：5 分

【问题描述】
哈沙德数是指在某个固定的进位制当中，可以被各位数字之和整除的正整数。例如 126 是十进制下的一个哈沙德数，因为(126)10 mod (1+2+6) = 0；126 也是八进制下的哈沙德数，因为 (126)10 = (176)8，(126)10 mod (1 + 7 + 6) = 0； 同时 126 也是 16 进制下的哈沙德数，因为 (126)10 = (7e)16，(126)10 mod (7 + e) = 0。小蓝认为，如果一个整数在二进制、八进制、十进制、十六进制下均为哈沙德数，那么这个数字就是幸运数字，第 1 至第 10 个幸运数字的十进制表示
为：1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 40 , 48 , 72 , 120 , 126 . . . 。现在他想知道第 2023 个幸运数
字是多少？你只需要告诉小蓝这个整数的十进制表示即可。

【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一 个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

试题 C: 数组分割

时间限制: 1.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：10 分

【问题描述】
小蓝有一个长度为 N 的数组 A = [A0, A1, . . . , AN−1]。现在小蓝想要从 A 对应的数组下标所构成的集合 I = {0, 1, 2, . . . , N − 1} 中找出一个子集 R1，那么 R1 在 I 中的补集为 R2。记 S 1 = r∈R1 Ar，S 2 = r∈R2 Ar，我们要求 S 1 和 S 2 均为偶数，请问在这种情况下共有多少种不同的 R1。当 R1 或 R2 为空集时我们将S 1 或 S 2 视为 0。

【输入格式】
第一行一个整数 T ，表示有 T 组数据。
接下来输入 T 组数据，每组数据包含两行：第一行一个整数 N，表示数组A 的长度；第二行输入 N 个整数从左至右依次为 A0, A1, . . . , AN−1，相邻元素之间用空格分隔。

【输出格式】
对于每组数据，输出一行，包含一个整数表示答案，答案可能会很大，你 需要将答案对 1000000007 进行取模后输出。

【样例输入】

2
2
6 6
2
1 6

【样例输出】

4
0

【样例说明】
对于第一组数据，答案为 4。（注意：大括号内的数字表示元素在数组中的下标。）
R1 = {0}, R2 = {1}；此时 S 1 = A0 = 6 为偶数, S 2 = A1 = 6 为偶数。R1 = {1}, R2 = {0}；此时 S 1 = A1 = 6 为偶数, S 2 = A0 = 6 为偶数。R1 = {0, 1}, R2 = {}；此时 S 1 = A0 + A1 = 12 为偶数, S 2 = 0 为偶数。R1 = {}, R2 = {0, 1}；此时 S 1 = 0 为偶数, S 2 = A0 + A1 = 12 为偶数。
对于第二组数据，无论怎么选择，都不满足条件，所以答案为 0。

【评测用例规模与约定】
对于 20% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 10。对于 40% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 102。
对于 100% 的评测用例，1 ≤ T ≤ 10, 1 ≤ N ≤ 103, 0 ≤ Ai ≤ 109。

试题 D: 矩形总面积

时间限制: 1.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：10 分

【问题描述】
平面上有个两个矩形 R1 和 R2，它们各边都与坐标轴平行。设 (x1, y1) 和(x2, y2) 依次是 R1 的左下角和右上角坐标，(x3, y3) 和 (x4, y4) 依次是 R2 的左下角和右上角坐标，请你计算 R1 和 R2 的总面积是多少？
注意：如果 R1 和 R2 有重叠区域，重叠区域的面积只计算一次。

【输入格式】
输入只有一行，包含 8 个整数，依次是：x1，y1，x2，y2，x3，y3，x4 和 y4。

【输出格式】
一个整数，代表答案。

【样例输入】

2 1 7 4 5 3 8 6

【样例输出】

22

【样例说明】
样例中的两个矩形如图所示：

【评测用例规模与约定】
对于 20% 的数据，R1 和 R2 没有重叠区域。
对于 20% 的数据，其中一个矩形完全在另一个矩形内部。对于 50% 的数据，所有坐标的取值范围是 [0, 103]。
对于 100% 的数据，所有坐标的取值范围是 [0, 105]。

试题 E: 蜗牛

时间限制: 1.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：15 分

【问题描述】
这天，一只蜗牛来到了二维坐标系的原点。
在 x 轴上长有 n 根竹竿。它们平行于 y 轴，底部纵坐标为 0，横坐标分别为 x1, x2, …, xn。竹竿的高度均为无限高，宽度可忽略。蜗牛想要从原点走到第n 个竹竿的底部也就是坐标 (xn, 0)。它只能在 x 轴上或者竹竿上爬行，在 x 轴上爬行速度为 1 单位每秒；由于受到引力影响，蜗牛在竹竿上向上和向下爬行
的速度分别为 0.7 单位每秒和 1.3 单位每秒。
为了快速到达目的地，它施展了魔法，在第 i 和 i + 1 根竹竿之间建立了传送门（0 < i < n），如果蜗牛位于第 i 根竹竿的高度为 ai 的位置 (xi, ai)，就可以瞬间到达第 i + 1 根竹竿的高度为 bi+1 的位置 (xi+1, bi+1)，请计算蜗牛最少需要多少秒才能到达目的地。

【输入格式】
输入共 1 + n 行，第一行为一个正整数 n； 第二行为 n 个正整数 x1, x2, . . . , xn；
后面 n − 1 行，每行两个正整数 ai, bi+1。
【输出格式】
输出共一行，一个浮点数表示答案（四舍五入保留两位小数）。

【样例输入】

3
1 10 11
1 1
2 1

【样例输出】

4.20

【样例说明】
蜗牛路线：

(0, 0) → (1, 0) → (1, 1) → (10, 1) → (10, 0) → (11, 0)，花费时间为 1 + 1/0.7 +0 + 1/1.3 + 1 ≈ 4.20

【评测用例规模与约定】
对于 20% 的数据，保证 n ≤ 15；
对于 100% 的数据，保证 n ≤ 1e5，ai, bi ≤ 1e4，xi ≤ 1e9。

试题 F: 合并区域

时间限制: 2.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：15 分

【问题描述】
小蓝在玩一款种地游戏。现在他被分配给了两块大小均为 N × N 的正方形区域。这两块区域都按照 N × N 的规格进行了均等划分，划分成了若干块面积相同的小区域，其中每块小区域要么是岩石，要么就是土壤，在垂直或者水平 方向上相邻的土壤可以组成一块土地。现在小蓝想要对这两块区域沿着边缘进 行合并，他想知道合并以后可以得到的最大的一块土地的面积是多少（土地的面积就是土地中土壤小区域的块数）？
在进行合并时，小区域之间必须对齐。可以在两块方形区域的任何一条边上进行合并，可以对两块方形区域进行 90 度、180 度、270 度、360 度的旋转， 但不可以进行上下或左右翻转，并且两块方形区域不可以发生重叠。

【输入格式】
第一行一个整数 N 表示区域大小。
接下来 N 行表示第一块区域，每行 N 个值为 0 或 1 的整数，相邻的整数之间用空格进行分隔。值为 0 表示这块小区域是岩石，值为 1 表示这块小区域是土壤。
再接下来 N 行表示第二块区域，每行 N 个值为 0 或 1 的整数，相邻的整数之间用空格进行分隔。值为 0 表示这块小区域是岩石，值为 1 表示这块小区域是土壤。

【输出格式】
一个整数表示将两块区域合并之后可以产生的最大的土地面积。

【样例输入】

4
0 1 1 0
1 0 1 1
1 0 1 0
1 1 1 0
0 0 1 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 1 1 1

【样例输出】

15

【样例说明】

第一张图展示了样例中的两块区域的布局。第二张图展示了其中一种最佳 的合并方式，此时最大的土地面积为 15。

【评测用例规模与约定】
对于 30% 的数据，1 ≤ N ≤ 5。
对于 60% 的数据，1 ≤ N ≤ 15。
对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 50。

试题 G: 买二赠一

时间限制: 1.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：20 分

【问题描述】
某商场有 N 件商品，其中第 i 件的价格是 Ai。现在该商场正在进行 “买二赠一” 的优惠活动，具体规则是：
每购买 2 件商品，假设其中较便宜的价格是 P（如果两件商品价格一样， 则 等于其中一件商品的价格），就可以从剩余商品中任选一件价格不超过 P
2
的商品，免费获得这一件商品。可以通过反复购买 2 件商品来获得多件免费商品，但是每件商品只能被购买或免费获得一次。
小明想知道如果要拿下所有商品（包含购买和免费获得），至少要花费多少钱？

【输入格式】
第一行包含一个整数 N。
第二行包含 N 个整数，代表 A1, A2, A3, . . . ，AN。

【输出格式】
输出一个整数，代表答案。

【样例输入】

7
1 4 2 8 5 7 1

【样例输出】

25

【样例说明】
小明可以先购买价格 4 和 8 的商品，免费获得一件价格为 1 的商品；再后
买价格为 5 和 7 的商品，免费获得价格为 2 的商品；最后单独购买剩下的一件
价格为 1 的商品。总计花费 4 + 8 + 5 + 7 + 1 = 25。不存在花费更低的方案。

【评测用例规模与约定】
对于 30% 的数据，1 ≤ N ≤ 20。
对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 5 × 1e5，1 ≤ Ai ≤ 1e9。

试题 H: 合并石子

时间限制: 1.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：20 分

【问题描述】
在桌面从左至右横向摆放着 N 堆石子。每一堆石子都有着相同的颜色，颜色可能是颜色 0，颜色 1 或者颜色 2 中的其中一种。
现在要对石子进行合并，规定每次只能选择位置相邻并且颜色相同的两堆石子进行合并。合并后新堆的相对位置保持不变，新堆的石子数目为所选择的两堆石子数目之和，并且新堆石子的颜色也会发生循环式的变化。具体来说： 两堆颜色 0 的石子合并后的石子堆为颜色 1，两堆颜色 1 的石子合并后的石子堆为颜色 2，两堆颜色 2 的石子合并后的石子堆为颜色 0。本次合并的花费为所选择的两堆石子的数目之和。
给出 N 堆石子以及他们的初始颜色，请问最少可以将它们合并为多少堆石子？如果有多种答案，选择其中合并总花费最小的一种，合并总花费指的是在 所有的合并操作中产生的合并花费的总和。

【输入格式】
第一行一个正整数 N 表示石子堆数。
第二行包含 N 个用空格分隔的正整数，表示从左至右每一堆石子的数目。第三行包含 N 个值为 0 或 1 或 2 的整数表示每堆石头的颜色。
【输出格式】
一行包含两个整数，用空格分隔。其中第一个整数表示合并后数目最少的 石头堆数，第二个整数表示对应的最小花费。

【样例输入】

5
5 10 1 8 6
1 1 0 2 2

【样例输出】

2 44

【样例说明】

上图显示了两种不同的合并方式。其中节点中标明了每一堆的石子数目， 在方括号中标注了当前堆石子的颜色属性。左图的这种合并方式最终剩下了两堆石子，所产生的合并总花费为 15 + 14 + 15 = 44；右图的这种合并方式最终也剩下了两堆石子，但产生的合并总花费为 14 + 15 + 25 = 54。综上所述，我们选择合并花费为 44 的这种方式作为答案。

【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 10。对于 50% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 50。
对于 100% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 300, 1 ≤ 每堆石子的数目 ≤ 1000。

试题 I: 最大开支

时间限制: 1.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：25 分

【问题描述】
小蓝所在学校周边新开业了一家游乐园，小蓝作为班长，打算组织大家去 游乐园玩。已知一共有 N 个人参加这次活动，游乐园有 M 个娱乐项目，每个项目都需要买门票后才可进去游玩。门票的价格并不是固定的，团购的人越多 单价越便宜，当团购的人数大于某个阈值时，这些团购的人便可以免费进入项 目进行游玩。这 M 个娱乐项目是独立的，所以只有选择了同一个项目的人才可以参与这个项目的团购。第 i 个项目的门票价格 Hi 与团购的人数 X 的关系可以看作是一个函数：
Hi(X) = max (Ki × X + Bi, 0)
max 表示取二者之中的最大值。当 Hi = 0 时说明团购人数达到了此项目的免单阈值。
这 N 个人可以根据自己的喜好选择 M 个娱乐项目中的一种，或者有些人对这些娱乐项目都没有兴趣，也可以选择不去任何一个项目。每个人最多只会选择一个娱乐项目，如果多个人选择了同一个娱乐项目，那么他们都将享受对应的团购价格。小蓝想知道他至少需要准备多少钱，使得无论大家如何选择， 他都有能力支付得起所有 N 个人购买娱乐项目的门票钱。

【输入格式】
第一行两个整数 N、M，分别表示参加活动的人数和娱乐项目的个数。
接下来 M 行，每行两个整数，其中第 i 行为 Ki、Bi，表示第 i 个游乐地点的门票函数中的参数。

【输出格式】
一个整数，表示小蓝至少需要准备多少钱，使得大家无论如何选择项目， 自己都支付得起。

【样例输入】

4 2
-4 10
-2 7

【样例输出】
12

【样例说明】
样例中有 4 个人，2 个娱乐项目，我们用一个二元组 (a, b) 表示 a 个人选择了第一个娱乐项目，b 个人选择了第二个娱乐项目，那么就有 4 − a − b 个人没有选择任何项目，方案 (a, b) 对应的门票花费为 max(−4 × a + 10, 0) × a + max(−2 × b + 7, 0) × b，所有的可能如下所示：

a b 花费
0 0 0
0 1 5
0 2 6
0 3 3
0 4 0
1 0 6
1 1 11
1 2 12
1 3 9
2 0 4
2 1 9
2 2 10
3 0 0
3 1 5
4 0 0

其中当 a = 1, b = 2 时花费最大，为 12。此时 1 个人去第一个项目，所以第一个项目的单价为 10 − 4 = 6，在这个项目上的花费为 6 × 1 = 6；2 个人去第二个项目，所以第二个项目得单价为 7 − 2 × 2 = 3，在这个项目上的花费为2 × 3 = 6；还有 1 个人没去任何项目，不用统计；总花费为 12，这是花费最大的一种方案，所以答案为 12。

【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，1 ≤ N, M ≤ 10。
对于 50% 的评测用例，1 ≤ N, M ≤ 1000。
对于 100% 的评测用例，1 ≤ N, M, Bi ≤ 105，−105 ≤ Ki < 0。

试题 J: 魔法阵

时间限制: 1.0s 内存限制: 512.0MB 本题总分：25 分

【问题描述】
魔法师小蓝为了营救自己的朋友小 Q，来到了敌人布置的魔法阵。魔法阵可以看作是一幅具有 N 个结点 M 条边的无向图，结点编号为 0, 1, 2, . . . , N − 1， 图中没有重边和自环。敌人在每条边上都布置了陷阱，每条边都有一个伤害属性 w，每当小蓝经过一条边时就会受到这条边对应的 w 的伤害。小蓝从结点 0 出发，沿着边行走，想要到达结点 N − 1 营救小 Q。
小蓝有一种特殊的魔法可以使用，假设一条路径按照顺序依次经过了以下
L 条边：e1, e2, . . . , eL（可以出现重复的边），那么期间小蓝受到的总伤害就是P =∑(L)( i=1) w(ei)，w(ei) 表示边 ei 的伤害属性。如果 L ≥ K，那么小蓝就可以从这 L 条边当中选出连续出现的 K 条边 ec, ec+1, . . . , ec+K−1 并免去在这 K 条边行走期间所受到的伤害，即使用魔法之后路径总伤害变为 P′ = P −∑c+K−1 w(ei) 。注意必须恰好选出连续出现的 K 条边，所以当 L < K 时无法使用魔法。
小蓝最多只可以使用一次上述的魔法，请问从结点 0 出发到结点 N − 1 受
到的最小伤害是多少？题目保证至少存在一条从结点 0 到 N − 1 的路径。
【输入格式】
第一行输入三个整数，N, K, M，用空格分隔。
接下来 M 行，每行包含三个整数 u, v, w，表示结点 u 与结点 v 之间存在一条伤害属性为 w 的无向边。

【输出格式】
害。输出一行，包含一个整数，表示小蓝从结点 0 到结点 N − 1 受到的最小伤
【样例输入 1】

4 2 3
0 1 2
1 2 1
2 3 4

【样例输出 1】

2

【样例输入 2】

2 5 1
0 1 1

【样例输出 2】

0

【样例说明】
样例 1，存在路径：0 → 1 → 2 → 3，K = 2，如果在 0 → 1 → 2 上使用魔法，那么答案就是 0 + 0 + 4 = 4；如果在 1 → 2 → 3 上使用魔法，那么答案就是 2 + 0 + 0 = 2。再也找不到比 2 还小的答案了，所以答案就是 2。
样例 2，存在路径：0 → 1 → 0 → 1 → 0 → 1，K = 5，这条路径总计恰好走了 5 条边，所以正好可以用魔法消除所有伤害，答案是 0。

【评测用例规模与约定】
对于 30% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 20。
对于 50% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 100。
对于 100% 的评测用例，1 ≤ N ≤ 1000, 1 ≤ M ≤ N×(N−1) /2，1 ≤ K ≤ 10,
0 ≤ u, v ≤ N − 1，1 ≤ w ≤ 1000 。